Variabel Kompleks (v) {Logaritma dan Pemangkatan Kompleks}

Post ini adalah materi lanjutan dari materi-materi bilangan kompleks sebelumnya. Karena ini adalah post berantai, diharapkan agar pembaca memahami 100% post sebelumnya sbb:
(i) Mengenal Bilangan Kompleks
(ii) Dalil De Moivre
(iii) Persamaan Euler
(iv) Review

Di post ini, kita akan melanjutkan materi mengenai bilangan kompleks, yang merupakan pengembangan dari materi-materi di atas... Guampang lowh.. ^^

=========================================================================

FUNGSI KOMPLEKS
LOGARITMA BASIS NATURAL

Masih ingatkah dengan persamaan euler?
Kalau belom, silakan baca post sebelumnya (lihat di atas)...

Kalau sudah, silakan tulis persamaan itu di secarik kertas...

Ikuti langkah di bawah..
Pers euler adalah sebagai berikut.

Sekarang ln-kan kedua ruas, maka persamaan menjadi:

Namun, ingatlah pembahasan sebelumnya bahwa persamaan euler adalah fungsi periodik. Dengan demikian, jika kita me-lnkannya, maka persamaan yang sekarang bernilai benar jika ditinjau dari sisi polar. Atau dengan kata lain, fungsi logaritma ini memiliki banyak nilai.

(memiliki banyak nilai)

Sekarang, kita lanjutkan operasi ln-nya...

Maka,

... (i)

Selanjutnya, kita ingin menentukan formula dari . Kita ubah z ke dalam polar.

Kemudian kita tahu dari persamaan (i) bahwa , maka:

Di atas adalah fungsi kompleks dari logaritma basis natural yang mempunyai nilai banyak untuk setiap z bilangan kompleks.. Harga dasar diperoleh jika diambil .

Contoh:

1.	Ubah menjadi bentuk koordinat dan tentukanlah harga dasarnya: a) b) Jawab: a) = = ____________untuk Harga dasarnya didapat dengan mensubstitusikan n= 0, maka: b) ____________untuk Harga dasarnya didapat dengan mensubstitusikan n= 0, maka:

=========================================================================

PEMANGKATAN KOMPLEKS

Diberikan sebuah formula pemangkatan kompleks sebagai berikut:

berlaku untuk z dan w semua bilangan kompleks.

Buktinya sederhana, yaitu sbb:

Kita ln-kan kedua ruas:


Kemudian jadikan kedua ruas sebagai pangkat dari e.


Dengan demikian:
(Terbukti)

Contoh:

2.

Tentukanlah nilai dasar dari: a. b. Jawab: a) = _____________= _____________= _____________= _____________= _____________= Note: Soal di atas ditujukan agar kalian memahami pengerjaan pemangkatan kompleks. Pada kenyataannya, tidak ada masalah yang sekompleks itu.. :).. b. = = = = = 0,207879576 Note: jawaban di atas silakan di cek di google, dengan mengetikkan "i^i".. Jawaban ini merupakan jawaban spesial di mana suatu kompleks yang dipangkatkan kompleks akan menghasilkan bilangan Real..

=========================================================================
Note: Materi ini adalah materi universitasku semester 4 hingga pertemuan ke-6.

Silakan bertanya jika ada yang ingin ditanyakan.. ^^