Sunday, March 1, 2009

Bukti: Menentukan Jari-Jari Lingkaran Luar Segitiga

Posted by hendry_dext

Untuk hubungan yang lebih baik, silakan lihat pula post mengenai Garis-Garis Istimewa Segitiga.

Di post ini, kita akan berusaha menemukan rumus menentukan jari-jari lingkaran luar segitiga jika diketahui panjang sisi a, b, dan c. (Lihat gambar). Pembuktian ini sudah ada di beberapa buku SMP, namun beberapa buku SMP yang lain justru hanya menyertakan rumus (tanpa pembuktian).. Sangat disayangkan..

Jari-jari circumcircle (Lingkaran luar) dari suatu segitiga dapat ditentukan dari rumus berikut.

Lihat lanjutan post berikut untuk mengetahui pembuktiannya.

=========================================================================
BUKTI
Dari gambar segitiga dan lingkaran luar di atas, tariklah garis yang menghubungkan salah satu titik sudut ke titik pusat O. Dalam bukti ini, kita ambil titik C. Perpotongan garis itu dengan lingkaran misalkan titik D. Kemudian, hubungkan titik D dengan titik yang lain. dalam hal ini, kita ambil titik B. Kita tarik pula garis tinggi (t) dari titik C terhadap AB.

Maka, hasilnya ditunjukkan gambar berikut.
Akan tetapi, karena garis CD adalah diameter, maka .
Kemudian, karena menghadap busur yang sama, maka . Maka, lihatlah kembali gambar yang sudah diperbarui di bawah:
Artinya, . Dengan perbandingan biasa, kita dapatkan:



Nah, cobalah ingat rumus luas segitiga (yang alasnya itu sisi c): . Dengan demikian,. Substitusikan nilai t ini, maka:


TERBUKTI
=========================================================================
Sekian bukti mudah ini. Lihat juga post yang lainnya... ^^

14 comments:

  1. AnonymousMarch 31, 2009 at 7:42 PM

    Saya punya bukti dengan trigonometri. Kita tahu bahwa L = 1/2 bc sin A, maka sin A = 2L/bc. Dengan aturan sinus, a/sin A = 2R, sehingga R = a/2sin A = abc/4L. :D

    ReplyDelete
  2. AnonymousMarch 31, 2009 at 10:54 PM

    bener sih yg dikatakan medali emas, saya juga pernah nurunin itu rumus dari segitiga dengan salah satu sisi nya diameter lingkaran, tapi takutnya itu rumusnya hanya berlaku khusus untuk segitiga dengan salah satu sisinya diameter lingkaran..benar gak???

    ReplyDelete
  3. hendry_dextApril 1, 2009 at 5:58 AM

    Yang dikatakan medali emas benar... ^^

    ReplyDelete
  4. AnonymousApril 1, 2009 at 7:04 AM

    Semua rumus itu berlaku untuk setiap segitiga, bukan hanya segitiga yang salah satu sisinya adalah diameter lingkaran luar.

    ReplyDelete
  5. AnonymousNovember 9, 2009 at 2:48 PM

    jelasin yg lebih detail dong medali emas, aku blom ngerti

    ReplyDelete
  6. mbarenxFebruary 19, 2012 at 8:15 PM

    makasih kk, tapi masih agak bingung

    ReplyDelete
  7. AnonymousDecember 1, 2012 at 5:51 PM

    dari gambar : sinA=t/b => t=b.sinA
    L=(1/2).c.t => L=(1/2).c.b.sinA

    sinD=a/(CD) => sinD=a/(2R) => a/sinD=2R
    karena sudutA = sudutD maka
    a/sinD=2R => a/sinA=2R

    penjelasan hendry merupakan bukti
    tapi untuk mendali emas pembuktian nya kurang di a/sinA=2R karena belum dibuktikan. trims... semoga membantu

    ReplyDelete
    Replies
    1. UnknownJanuary 22, 2013 at 12:43 PM

      sebenernya a/sin(A) = 2R itu penurunan juga dari R=abc/(4L), jadi agak reciprocal juga ^^'

      R = abc/(4L) , L = 1/2 bc sin (A)
      trus . .
      R = abc/(1/2 bc sin (A))
      b ama c coret sisa . .
      R =a/(1/2 sin(A))
      trus . .
      R = 2a/sin(A)

      karena R = abc/(4L) udah valid, maka R = 2a/sin(A) juga valid ^^

      Delete
    2. UnknownJanuary 22, 2013 at 12:45 PM

      eh itu salah, ini . .

      R = abc/(4L) , L = 1/2 bc sin (A)
      trus . .
      R = abc/(1/2 4 bc sin (A))
      b ama c coret sisa . .
      R =a/(2 sin(A))
      trus 2 pindah ruas
      2R = a/sin(A)

      karena R = abc/(4L) udah valid, maka 2R = a/sin(A) juga valid

      Delete
  8. mrkodoxMay 26, 2013 at 11:37 PM

    bingung coy

    ReplyDelete
  9. AnonymousJune 3, 2013 at 8:26 PM

    Pening kalau udah mate-matika

    ReplyDelete
  10. otaku_dunkOctober 28, 2013 at 10:47 AM

    suka bgt sama matematika...tp pling bego sma mata pelajaran ini...
    wlwpun udah b'usaha keras...tp nilai tetap jeblok... T_T

    ReplyDelete
  11. AnonymousMay 9, 2014 at 10:26 AM

    5 ekor kambing DOMBA

    ReplyDelete
  12. UnknownFebruary 23, 2016 at 7:00 AM

    tq

    ReplyDelete

Subscribe to: Post Comments (Atom)