Membantu Perancang Jalan Raya

Empat kota terletak pada titik-titik sudut sebuah bujur sangkar dengan sisi 30 km. Karena meningkatnya kegiatan perdagangan antara keempat kota tersebut, pemerintah memutuskan untuk membangun jalan raya yang akan menghubungkan kota-kota tersebut. Tentu saja, pemerintah menghendaki biaya pembangunan yang serendah mungkin. Itulah sebabnya, para insinyur disuruh merancang jaringan jalan yang sependek mungkin.
Setelah mempertimbangkan beberapa kemungkinan, para insyinyur memutuskan untuk membangun jalan raya sepanjang kedua diagonal AC dan BD, yang panjang totalnya 84,9 km (lihat gambar) yang menurut mereka adalah yang terpendek. Sesungguhnya mereka salah. Masih ada jawaban yang lebih baik dalam arti panjang totalnya lebih pendek.

Dapatkah kalian menemukannya? Berapa total jarak terpendeknya?

=========================================================================

PENYELESAIAN

Jarak terpendeknya dibentuk seperti berikut.

Yang menarik dari rute tersebut (seperti gambar di atas) adalah jalan raya tersebut terhubung oleh 2 pertigaan, yang maing-masing pertigaan membentuk sudut 120⁰. Dengan perhitungan matematik sederhana dapat ditunjukkan bahwa panjang total jalan ini adalah 81,96152423 km.

Jawaban ini dapat diperlihatkan secara menarik dengan menggunakan lapisan permukaan yang terbuat dari busa sabun yang direnggangkan antara 4 buah paku yang membentuk bujur sangkar antara 2 lapisan yang tembus pandang. Jawaban untuk berbagai masalah rute terpendek dapat didemonstrasikan dengan cara yang sama dan sering memberikan jawaban yang sangat menarik.

Analisis tentang masalah tersebut, yang sering disebut sebagai Steiner problem, dipopulerkan oleh matematikawan kebangsaan Jerman. Kalian dapat membacanya dalam buku berjudul "What is Mathematics" oleh Courant dan Robbins.