What's the content of this blog

Composition: Mathematics, my favourite lesson 90%. Mathematics Software 3%, My Life and Experience 3%, and Others 4%..
-- Here we can share knowledge --
-- Enjoy --

Sunday, March 22, 2009

Makanan Otak ...(xi) {Digit}

1. Ada berapa banyak digit dari setelah diuraikan?

2. Tentukan digit terakhir dari

3. Tentukan digit ke-99 di belakang koma pada .

Hint: **Yang paling mudah adalah nomor 2, yaitu modulo 10 biasa.. Nomor 1 dan 3 diselesaikan dengan cara yang sedikit kreatif, yaitu dengan cara membandingkannya dengan bilangan lain yang lebih besar atau lebih kecil.. Very challenging... ^^**

=========================================================================
JAWABAN
1. Bilangan akan lebih mudah dibentuk menjadi . Kemudian, kita mencoba melihat angka-angka lain yang lebih besar dan lebih kecil dari angka tersebut untuk menaksir jumlah digit dari .

Perhatikan bahwa:
Karena memiliki 31 digit, maka sedikitnya memiliki 31 digit.

Kemudian perhatikan bahwa:




Mengingat bahwa , sehingga pertaksamaan ini berlaku:
Dengan demikian, pertaksamaan tersebut menjadi:




Artinya digit dari harus lebih kecil dari 32..

Namun, syarat di awal mengharuskan digit dari setidaknya 31 digit.
Kesimpulannya, memiliki 31 digit.
2.
Seperti bahasan modulo yang pernah kita bahas sebelumnya di post INI. Maka, kita menggunakan cara yang serupa.

Untuk mencari digit terakhir dari , kita gunakan modulo 10. Namun, masalahnya sekarang adalah pangkatnya yang dipangkatkan. Maka, kita sederhanakan pangkatnya terlebih dahulu dengan modulo lagi. Di sini, kita gunakan modulo 4.

.
Karena menghasilkan sisa 3 jika dibagi dengan 4, maka dapat dibentuk sbb:.

Maka:

____________=
____________=
____________=
____________=
____________= 3.

Jadi, digit terakhirnya adalah 3.
3.
Jika diuraikan dengan teorema binomial, maka semua pangkat ganjil dari akan habis, sehingga hasilnya bilangan bulat. Perhatikan bahwa

Jadi pasti dimulai dengan 150 angka 0 di belakang koma, sehingga harus dimulai dengan 150 angka 9 di belakang koma, agar jumlahnya bulat. Maka digit ke-99 di belakang koma adalah 9.

4 comments:

  1. yang no1 31 digit ya?

    ReplyDelete
  2. wkakakakak gak habis pikir aku.... wa cuman isa nemuin polanya tapi gak isa nemuin nilainya buat nomer2

    ReplyDelete
  3. log 2 = 0.30102995...
    log 2^100 = 100 log 2 = 30.102...
    30 < 30.102... < 31
    log 10^30 < log 2^100 < log 10^31
    10^30 < 2^100 < 10^31

    maka jumlah digitnya pasti 31. (QED)

    ReplyDelete