Sunday, June 28, 2009

Bagaimanakah polanya?

Perhatikan gambar di bawah.

________.......(continued)......
Diberikan ada barisan bulatan-bulatan. Baris pertama adalah HPHPPH (H=hitam, P=putih). Baris kedua adalah HHHPHP. Dan seterusnya.. (bisa dilihat sendiri, kan? :P)

Sesungguhnya, bulatan-bulatan itu dibentuk berdasarkan pola yang dibangkitkan dari baris paling atas. Bisakah kalian menemukan polanya? Bisakah kalian menentukan bulatan-bulatan di baris ke-7 dan ke-8?

Apakah mungkin ada baris yang:
a) semuanya berwarna hitam
b) semuanya berwarna putih
c) terdiri dari satu lingkaran hitam?


JAWABAN
Warna lingkaran ditentukan oleh dua lingkaran yang tepat di atasnya. Jika kedua lingkaran di atasnya berwarna sama, maka lingkaran di bawahnya akan berwarna putih. Sebaliknya, jika dua lingkaran di atasnya berwarna berbeda, maka lingkaran di bawahnya akan berwarna hitam.


Setiap baris lingkaran hendaknya dipandang sebagai barisan yang kontinu, sehingga lingkaran di ujung paling kanan dipandang berdampingan dengan lingkaran di ujung paling kiri.

Jadi, baris ke-7 dari soal di atas adalah HHHHPP.
Suatu baris yang seluruhnya terdiri dari lingkaran putih hanya mungkin berasal dari baris yang seluruhnya lingkaran putih atau seluruhnya lingkaran hitam. Jadi, itu bergantung pada kemungkinan munculnya baris yang seluruhnya terdiri dari lingkaran hitam. Sedangkan baris demikian ini hanya mungkin diperoleh dari baris yang warnanya bergantian putih dan hitam, yang dapat ditunjukkan tidak mungkin terjadi sebagai di[perlihatkan oleh argumentasi di bawah ini. Misalkan 6 adalah putih, maka 1 harus hitam untuk menghasilkan lingkaran hitam di ujung paling kanan. Selanjutnya 2 juga harus hitam agar menghasilkan lingkaran putih di ujung paling kiri. Jika 2 hitam, maka 3 harus putih. Selanjutnya, 4 harus putih, dan 5 harus hitam. Namun, ini berarti 5 dan 6 akan berbeda warna, kontradiksi dengan kenyataan bahwa lingkaran kedua dari kanan adalah putih. Kontradiksi yang sama akan diperoleh kalau kita mulai dengan lingkaran 6 berwarna hitam.

Sebauah baris dengan hanya 1 lingkaran hitam juga tidak mungkin terjadi, sebab itu hanya mungkin muncul dari sebuah lingkaran hitam dan sebuah lingkaran putih.

Click Here to Read More..

Thursday, June 18, 2009

Mengenal Metris (Metode Horisontal)

Jika kalian diharuskan menghitung perkalian dua digit atau mungkin pangkat tiga dari suatu bilangan, bagaimanakah kalian menghitungnya?

Sebagai contoh, perhatikan ilustrasi berikut.

Nah ilustrasi di atas menunjukkan perkalian vertikal, dikerjakan dari atas ke bawah... Jika kalian mengerjakan perkalian ini, pertama kita harus mengalikan 28 dengan 7, lalu 28 dengan 4, kemudian, hasil keduanya dijumlahkan dalam bentuk tangga... Umpph... Kalian merasa sedikit ribet..?? Mungkin saja tidak... Tapi, sesungguhnya saya akui metode vertikal ini agak sedikit ribet. Untuk melakukan perkalian 2 digit saja kita harus mengalikan sebanyak dua kali, kemudian hasilnya dijumlahkan lagi. Tingkat kesalahannya sangat tinggi!!!!!

Sedangkan dengan metode horisontal, kita dapat mengerjakannya dengan cara berikut:

Selain lebih akurat, lebih mudah, bahkan juga memungkinkan perhitungan yang lebih cepat. Plus, manfaat lain yaitu hemat kertas!!!

Hmmm... Mau tahu apa latar belakang metris? Bagaimana cara kerja metris ini? Dan pertanyaan-pertanyaan yang lain. Silakan simak di bawah..^^
=========================================================================

Metris dikembangkan oleh Stephanus Ivan Goenawan. Sekarang, dia adalah seorang dosen fisika di Universitas Katolik Atma Jaya. Konsep metris berawal dari pemikiran bahwa suatu bilangan dapat dipecah-pecah menjadi elemen-elemen satuan, puluhan, ratusan, dan seterusnya...

Bila dibandingkan dengan sempoa, metris memang lebih ilmiah meskipun sama-sama menggunakan perhitungan mental aritmatika dan mengandalkan konsep asosiasi posisi. Perbedaannya, metris bisa menjelaskan langkah yang diambil karena menggunakan cara berpikir matematika seperti yang digunakan di sekolah pada umumnya.

Lalu? Mengapa metris bisa berkembang sekarang?? Kenapa tidak ada satu orang pun yang berpikir mengenai hal ini sebelumnya?
Cara berpikir metris memang sudah ada sebelumnya.. Bahkan sudah banyak beredar buku-buku mengenai cara menghitung cepat di toko-toko buku sekitar kita.. Namun, sayangnya pemikiran itu kurang universal. Jika kita menemukan kasus perkalian, misalnya, kita lebih condong menghitungnya secara vertikal (cara biasa). Cara kreatif kurang digunakan karena waktunya justru lebih lama, karena bilangan itu harus diolah terlebih dahulu. Kurang ada suatu terobosan yang membuat perhitungan lebih cepat.

Hal inilah yang disadari Ivan. Dalam metris dikenalkan suatu simbol pagar atau dituliskan dengan "|". Simbol ini menandakan pemisah antara ratusan, puluhan, satuan, dan sebagainya (akan dijelaskan di bawah). Simbol ini sendiri diperlakukan mirip dengan operasi perkalian dan penjumlahan. Dengan adanya notasi pagar ini sekaligus sifat-sifatnya yang dapat diturunkan secara matematis, metris menjadi bukan sekadar omong kosong belaka. Metris siap menjadi suatu terobosan metode hitung yang baru dan dipelajari setiap orang.. ^^

=========================================================================

Sudah siap mengenal metris dan cara kerjanya? Namun, di blog ini hanya dibahas sebagian kecil saja. Perkalian adalah topik yang diutamakan. Sebelumnya, kita harus mengenal mengenai notasi pagar.


Metris menggunakan notasi pagar, yang didefinisikan sebagai berikut.
untuk
Penjabarannya dapat dilihat di bawah:



dan seterusnya.

Supaya kita benar-benar mengenal notasi ini, perhatikan contoh di bawah:

625 dapat dituliskan menjadi 6 || 25 karena 625 = 6*100 + 25

625 juga dapat dituliskan menjadi 62 | 5 karena 625 = 62*10+5

625 juga dapat dituliskan menjadi 6 | 2 | 5 karena 625= (6*10+ 2)*10+5
Perhatikan bahwa jika 625 ditulis menjadi 6 || 2 | 5 maka menjadi salah.

Maksud dari 6 || 2 | 5 adalah (6*100+2)*10 + 5 = 6025.

12890900 dapat ditulis menjadi 128 | 9 ||| 9 || karena
12890900 = (((128*10+9)*1000)+9)*100
Akan tetapi, sebaiknya ditulis menjadi 128 | 9 ||| 900 untuk mencegah kebingungan.. Artinya, di sebelah tanda pagar harus terdapat angka.

34 | 56 = 396
Alasannya:
34 | 56 = 34*10+56 = 34*10+5*10+6 = (34+5)*10+6=39*10+6=39 | 6 = 396

123 | 23 | 125 = 123 | 35 | 5 = 126 | 5 | 5 = 12655
Jelaskan jawaban ini dengan menjabarkannya..

Oleh karena notasi pagar mengindikasikan posisi dari bilangan maka dalam setiap pagar mewakili hanya satu digit bilangan di bagian kanannya. Bila ada lebih dari satu digit harus digeser ke kolom sebelah kirinya (Kita selalu bekerja dalam arah kanan ke kiri). Cara menggesernya dengan cara menambahkan bilangan 'yang berlebihan' ke kolom sebelah kirinya.
Perhatikan contoh di bawah:

4 | 20 | 25 = 4 | 20+2 | 5 = 4 | 22 | 5

Selanjutnya proses diulangi lagi sbb:

4+2 | 2 | 5 = 6 | 2 | 5

Setelah dalam notasi pagar hanya terdapat satu digit bilangan maka
perhitungan selesai. Sehingga :

6 | 2 | 5 = 625
Nah, bagaimana kalau ada pagar2? Pagar2 sendiri mengindikasikan bahwa di kolom kanannya harus terdapat 2 digit angka. Jangan lupa, sifat pergeseran tetap berlaku, dan kita selalu menggeser dari kanan ke kiri..
Perhatikan lagi contoh di bawah:

236 || 598 || 423 = 236 || 598 + 4 || 23 = 236 || 602 || 23

Selanjutnya proses diulangi lagi sbb:

236+6 || 02 || 23 = 242 || 02 || 23

Karena syarat bahwa "sebelah kanan pagar 2 harus terdapat 2 digit" sudah terpenuhi, maka jawaban sudah didapat.

242 || 02 || 23 = 2420223.
Selanjutnya, sifat yang sama juga berlaku untuk pagar3, pagar4, dan seterusnya..
Mudah bukan? Selanjutnya, kita akan membahas mengenai perkalian. ^^
=========================================================================


Di sini, setiap bilangan dipecah menjadi elemen satuan, puluhan, ratusan, dan sebagainya. Inilah yang membuat perkalian di metris menjadi lebih mudah. Di sini, akan diberikan berbagai rumus-rumus, namun sesungguhnya penurunannya sangat mudah.

PERKALIAN BILANGAN 2 DIGIT ab * cd

ab* cd = a*c | a*d + b* c | b*d

Bukti:
ab * cd = (a*10 + b)*(c*10+d)
______= (a*10 + b)*(c*10+d)
______= a*c*100 + a*d*10+b*c*10+b*d
______= a*c*100 + (a*d+b*c)*10+b*d
______= a*c | a*d + b* c | b*d
Contoh 1:
87*69 = ....

Jawab
87*69 = 8*6 | 8*9 + 7*6 | 7*9
______= 48 | 72 + 42 | 63
______= 48 | 114 | 63
______= 48 | 120 | 3 (ingatlah konsep pergeseran yang sudah dijelaskan sebelumnya!!)
______= 60 | 0 | 3
______= 6003

KUADRAT BILANGAN 2 DIGIT

ab^2 = a^2 | 2*a*b | b^2

Bukti: (seharunya kamu bisa membuktikannya)
Contoh 2:
98^2= ....

Jawab
98^2= 9^2 | 2*9*8 | 8^2
____= 81 | 144 | 64
____= 81 | 150 | 4
____= 96 | 0 | 4
____= 9604

KASUS PAGAR BOBOT 2, PAGAR BOBOT 3, DAN SETERUSNYA
Kita tahu bahwa (a|b)^2 = a^2 | 2*a*b | b^2. Kasus ini juga berlaku untuk pagar bobot 2, bobot 3, dan seterusnya.. Misalnya:
(a||bc)^2 = a^2 || 2*a*(bc) || (bc)^2
(a|||bcd)^2 = a^2 ||| 2*a*(bcd) ||| (bcd)^2

Bukti: (uraikan sendiri..)
Contoh 3:
507^2= ....

Jawab:
507^2= (5 || 7)^2
_____= 5^2 || 2*5*7 || 7^2
_____= 25 || 70 || 49
_____= 257049

Contoh 4:
9006^2 = ....

Jawab cara I:
9006^2 = (9 ||| 6 )^2
_______= 9^2 ||| 2*9*6 ||| 6^2
_______= 81 ||| 108 ||| 36
_______= 81108036

Jawab cara II:
9006^2 = (90 || 6 )^2
_______= 90^2 || 2*90*6 || 6^2
_______= 8100 || 1080 || 36
_______= 8110 || 80 || 36
_______= 81108036

Contoh 5:
498^2 = ....

Jawab:
498^2 = (4 || 98)^2
______= 4^2 || 2* 4 * 98 || 98 ^2
______= 4^2 || 2* 4 * 98 || 9604 (Kita sudah mendapatkan 98^2 sebelumnya)
______= 16 || 784 || 9604
______= 16 || 880 || 04
______= 24 || 80 || 04
______= 248004

Perhatikan bahwa kita dapat menyelesaikan kuadrat bilangan berdigit 3 dengan memecahnya menjadi 2 bagian terlebih dahulu.. Namun, ternyata perhitungan 2*4*98 dianggap cukup memakan waktu. 98^2 pun harus dihitung terlebih dahulu.. Adakah cara yang lain? Sabar.. Lihat lanjutannya di bawah.

PERKALIAN BILANGAN 3 DIGIT

abc* def = a*d | a*e + b*d | a*f + b*e + c*d | b*f + c*e | c*f

Bukti: (caranya seperti sebelumnya)

Contoh 6:
619*257 = ....

Jawab:
619*257 = 6*2 | 6*5 + 1*2 | 6*7 + 1*5 + 9*2 | 1*7 + 9*5 | 9*7
_______= 12 | 32 | 42 + 5 + 18| 52 | 63
_______= 12 | 32 | 65| 52 | 63
_______= 12 | 32 | 65| 52 | 63
_______= 12 | 32 | 65| 58 | 3
_______= 12 | 32 | 70 | 8 | 3
_______= 12 | 39 | 0 | 8 | 3
_______= 15 | 9 | 0 | 8 | 3
_______= 159083

KUADRAT BILANGAN 3 DIGIT

abc^2 = a^2 | 2*a*b | 2*a*c + b^2 | 2*b*c | c^2

Bukti: (You should know how...)
Contoh 7:
498^2 = .... (kali ini gunakan cara yangberbeda)

Jawab:
498^2 = 4^2 | 2*4*9 | 2*4*8 + 9^2 | 2*9*8 | 8^2
_____= 16 | 72 | 64 + 81 | 144 | 64
_____= 16 | 72 | 145 | 144 | 64
_____= 16 | 72 | 145 | 150 | 4
_____= 16 | 72 | 160 | 0 | 4
_____= 16 | 88 | 0 | 0 | 4
_____= 24 | 8 | 0 | 0 | 4
_____= 248004
Ternyata, dapat dikerjakan dengan jauh lebih mudah dan cepat...

PANGKAT TIGA

ab^3 = a^3 | 3*a^2*b | 3*a*b^2 | b^3

Bukti: (Masih ingatkah dengan segitiga Pascal dan binomial Newton?)

Contoh 8:
74^3 = ....

Jawab:
74^3 = 7^3 | 3* 7^2*4 | 3*7*4^2 | 4^3
____= 343 | 588 | 336 | 64
____= 343 | 588 | 342 | 4
____= 343 | 622 | 2 | 4
____= 405 | 2 | 2 | 4
____= 405224
Perhitungan awal memang cukup rumit... Namun, bandingkan, lebih rumit mana antara cara metris dengan cara yang biasanya kalian lakukan..!!

PANGKAT EMPAT, LIMA, DAN SETERUSNYA

ab^4 = a^4 | 4*a^3*b | 6*a^2*b^2 | 4*a*b^3 | b^4
ab^5 = a^5 | 5*a^4*b | 10*a^3*b^2 | 10*a^2*b^3 | 5*a*b^4 | b^5
dan seterusnya.....

Bukti: (Masih ingatkah dengan segitiga Pascal dan binomial Newton? Perlukah diingatkan kembali?)
Contoh 9:
26^4 = ....

Jawab:
26^4 = 2^4 | 4*2^3*6| 6*2^2*6^2 | 4*2*6^3 | 6^4
____= 16 | 192 | 864 | 1728 | 1296
____= 16 | 192 | 864 | 1857 | 6
____= 16 | 192 | 1049 | 7 | 6
____= 16 | 296 | 9 | 7 | 6
____= 45 | 6 | 9 | 7 | 6
____= 456976

Meskipun awalnya sedikit rumit, namun cara metrislah yang paling efektif dalam menghitung pangkat.. Bandingkan jika kalian mengalikan 26 sebanyak 4 kali... Bisa tewas... T_T
=========================================================================

Sesungguhnya, ada banyak sekali hal-hal yang menarik untuk dipelajari mengenai metris. Ada banyak cara cepat lainnya. Misalkan: (a|5)^2 = (a*(a+1))|| 25. Contohnya: 85^2 = (8*9)|25 = 7225. Rumus ini sendiri sesungguhnya dapat kalian turunkan sendiri.. Namun, kalau sengaja dihapal, sebaiknya jangan... Yah, kecuali kalau kalian tidak sengaja menghapalnya.. Hahaha..

Metris memang metode yang cukup ampuh.. Jika dikombinasikan dengan metode vertikal, maka kalian bisa menghitung dengan optimal.

Untuk mempelajari metris lebih jauh, silakan pergi ke toko buku terdekat (Gramedia, etc).. Ada banyak sekali seri metris yang ditulis oleh Ivan Goenawan...

Jangan sampai kehabisan... Hahaha.. (Koq jadi promosi.. ) :P.

Sumber:
Koran kompas (18 Juni 2009)
http://sigmetris.com

Click Here to Read More..

Makanan Otak ...(xx) {Trivia Logaritma}

Tanpa menggunakan KALKULATOR, tentukanlah hasil akhir dari operasi logaritma yang diberikan di bawah!






Bisakah kalian menjelaskan jawaban tersebut? ^^

Click Here to Read More..

Monday, June 15, 2009

Jokes: Tebak Idola

Sekarang kita akan bermain "TEBAK IDOLA"... Dari angka favorit di bawah, Anda akan tahu siapa idola Anda sesungguhnya..!!!!

Ikuti petunjuknya... ^^
Pilih angka favorit Anda dari 1 sampai 10. Kemudian, angka tersebut dikalikan 3. Sesudah itu tambahkan dengan 3, dan kemudian kalikan lagi dengan 3. Nahhh... Jika hasil akhirnya dua digit atau lebih, jumlahkan angka tersebut sampai satu digit. Contoh: 52 5+2 7. Setelah itu, cocokkan dengan tabel di bawah untuk mengetahui idolamu sesungguhnya!!

Berikut adalah daftar namanya:
1. Agnes Monica
2. Baim Wong
3. Gita Gitawa
4. Afgan
5. Krisdayanti
6. Sandra Dewi
7. Glenn Alinskie
8. Pasha Ungu
9. Hendry Setiadi (yang punya blog)... ^^;
10. Bunga Citra Lestari

Nah, dengan mengikuti permainan ini, kamu pun jadi tahu kan idola kamu yang sesungguhnya... Wakakakaka... ^^;;

Click Here to Read More..

Banyaknya Segitiga

Diberikan suatu kasus yang menarik. Kasusnya kelihatannya mudah, yaitu menentukan banyaknya segitiga dari tumpukan n segitiga yang berbentuk piramid.

Misalkan, n =1.

Banyaknya segitiga yang ada = 1.
Bagaimana jika n=2?

Banyak segitiga dengan sisi 1 satuan = 4.
Banyak segitiga dengan sisi 2 satuan = 1.
Jadi, total banyaknya segitiga = 5
Jika n=3

Banyak segitiga dengan sisi 1 satuan = 9.
Banyak segitiga dengan sisi 2 satuan = 3.
Banyak segitiga dengan sisi 3 satuan = 1.
Jadi, total banyaknya segitiga = 13.
Jika n=4

Banyak segitiga dengan sisi 1 satuan = 16.
Banyak segitiga dengan sisi 2 satuan = 7.
Banyak segitiga dengan sisi 3 satuan = 3.
Banyak segitiga dengan sisi 4 satuan = 1.
Jadi, total banyaknya segitiga = 27.
Jika n=5

Banyak segitiga dengan sisi 1 satuan = 25.
Banyak segitiga dengan sisi 2 satuan = 13.
Banyak segitiga dengan sisi 3 satuan = 6.
Banyak segitiga dengan sisi 4 satuan = 3.
Banyak segitiga dengan sisi 5 satuan = 1.
Jadi, total banyaknya segitiga = 48.

Bisakah kalian menemukan formula untuk mencari banyaknya segitiga tersebut? Berapakah banyaknya segitiga yang dibentuk jika n=10?

Source: This challenge is given by my friend, Derwin via YM...

Click Here to Read More..

Thursday, June 11, 2009

Rantai Kalung

Seorang pembuat perhiasan menerima pesanan cepat untuk membuatkan sebuah rantai dengan 25 anak rantai untuk seorang istri pengusaha. Ia memiliki seorang pembantu ahli dan lima pekerja magang. Kemudian, ia membagi tugas dan setiap orang kebagian membuat sebagian dari rantai tersebut. Anak rantai-anak rantai itu begitu besarnya sehingga ia merasa lega ketika sebelum pukul lima sore ke-25 anak rantai itu sudah siap. Tetapi, baru sekarang ia sadar betapa tidak efisiennya mereka, sebab yang ada padanya sekarang adalah tujuh potongan rantai: dua dengan 2 anak rantai, dua dengan 3 anak rantai, dan masing-masing 1 dengan 4, 5, dan 6 anak rantai.

Untuk menggabungkan potongan-potongan itu menjadi satu rantai dengan 25 anak rantai, ia harus memotong dan menyambung kembali sebagian anak rantai. Ia memperhitungkan bahwa untuk memotong dan menyambung kembali sebuah anak rantai diperlukan waktu 20 menit dan ia memutuskan untuk menyelesaikan sendiri pekerjaan itu.

Berapa waktu tersingkat yang ia perlukan sebelum ia dapat pulang ke rumah?

========================================================================
Jawab:
Cukup memotong dan menyambung 4 anak rantai pada dua potongan rantai yang masing-masing memiliki 2 anak rantai. 4 anak rantai inilah yang digunakan untuk menyambung kelima potongan rantai yang lain.

Jadi, waktu yang dia butuhkan cukup 80 menit.

Click Here to Read More..

Sunday, June 7, 2009

Round-Robin Tournament

Pernahkah kalian memperhatikan sistem tournament yang digunakan dalam berbagai pertandingan olahraga, catur, ataupun tournament yang lain?

Ada banyak sekali sistem tournament yang ada. Sistem gugur / knockout / single elimination/ cup/ suddendeath adalah sistem yang sering kita jumpai di banyak pertandingan olahraga.. Sekali kalah, maka pemain tidak bisa lanjut ke bebak berikutnya. Di bawah ini diberikan contoh sistem gugur untuk 8 pemain, dari A hingga H.

Kelebihan sistem ini adalah dapat mengeliminasi jumlah pemain yang sangat banyak dan pertandingan yang dilangsungkan seminimal mungkin. Terlihat di atas bahwa jumlah pertandingan untuk menentukan 1 pemenang dari 8 pemain adalah 7 pertandingan. Jika kita ingin menentukan juara 2 dan juara 3, maka cukup diadakan satu pertandingan tambahan, sehingga total pertandingannya cukup 8 saja.

Ada kekurangan di dalam sistem ini, karena pemain-pemain yang unggul bisa saja kalah di babak-babak awal, atau mungkin di babak awal bertemu dengan pemain yang sangat kuat (tidak sebanding) sehingga digunakan sistem lain, yaitu sistem poin, atau biasa disebut dengan "Round-Robin Tournament" atau "All Play All Tournament". Untuk lebih jelasnya mengenai sistem ini, baca di bawah.

=========================================================================
ROUND-ROBIN TOURNAMENT

Round-Robin Tournament merupakan sistem tournament di mana setiap pemain akan bertanding melawan setiap pemain lainnya. Jika masing-masing melawan sekali, dinamakan "single round-robin", sedangkan jika melawannya dua kali, maka dinamakan "double round-robin". Sistem double sendiri jarang digunakan, karena memakan waktu.

Sistem round-robin dengan 4 pemain sering disebut juga "quad".
Istilah round-robin sendiri diturunkan dari bahasa Perancis "ruban", yang berarti "ribbon", namun entah mengapa istilah itu sekarang berubah menjadi Robin, yang sesungguhnya tidak ada sangkut pautnya dengan Robin Hood.

Di bawah diberikan contoh jadwal Single Round-robin dengan 8 team:
Round 1

Team 1 vs Team 7
Team 2 vs Team 6
Team 3 vs Team 5
Team 4 vs Team 8
Round 2
Team 1 vs Team 8
Team 2 vs Team 7
Team 3 vs Team 6
Team 4 vs Team 5
Round 3
Team 1 vs Team 2
Team 3 vs Team 7
Team 4 vs Team 6
Team 5 vs Team 8
Round 4
Team 1 vs Team 3
Team 2 vs Team 8
Team 4 vs Team 7
Team 5 vs Team 6
____
Round 5 Team 1 vs Team 4
Team 2 vs Team 3
Team 5 vs Team 7
Team 6 vs Team 8
Round 6 Team 1 vs Team 5
Team 2 vs Team 4
Team 3 vs Team 8
Team 6 vs Team 7
Round 7
Team 1 vs Team 6
Team 2 vs Team 5
Team 3 vs Team 4
Team 7 vs Team 8
Tabel Round-Robin dengan 8 team (tabel 1)

Sistem ini mengusahakan agar round yang digunakan adalah seminimum mungkin. Terlihat bahwa jika ada 8 team, maka round yang dibutuhkan cukup 7 round di mana setiap round-nya terdapat 4 pertandingan. Jadi, total pertandingannya adalah 28.

Jadwal pertandingan tidak harus seperti di atas. Ada banyak sekali kemungkinan untuk membuat jadwal round-robin. Pertanyaannya adalah bagaimanakah cara membuat jadwal round robin seperti di atas? Berikut dibahas di bawah.

=========================================================================
CARA MEMBUAT JADWAL ROUND-ROBIN TOURNAMENT

FORMAT TABEL YANG LEBIH SEDERHANA

Perhatikan contoh tabel 1 di atas. Jika tabel di atas terlihat lebih panjang, maka berikut akan diberikan tabel yang lebih sederhana dan singkat:

12345678
Round 1 7658
3214
Round 2 87654321
Round 3 21768
435
Round 4 38
176542
Round 5 432178
56
Round 6 548
2176
3
Round 7 65432187
Bentuk lain tabel 1 (tabel 2)

Untuk berikutnya, di bawah, kita akan menggunakan format tabel yang seperti di atas.

PENGENALAN TERHADAP KELOMPOK DUMMY
Sebelum melangkah lebih jauh, perlu kita ketahui bahwa jika jumlah pemainnya ganjil (misalnya 7 team) maka kita harus membuat sebuah kelompok dummy (misalnya kelompok ke-8). Jika ada kelompok yang bertemu dengan kelompok dummy tersebut, artinya team tersebut tidak bermain pada round tersebut..

Berikut diberikan contoh tabel Round-Robin untuk 7 pemain:

1234567
Round 1 765bye321
Round 2 bye765432
Round 3 2176bye43
Round 4 3bye17654
Round 5 43217bye5
Round 6 54bye2176
Round 7 654321bye
Tabel Round-robin dengan 7 pemain (tabel 3)

Perhatikan bahwa tabel dengan 7 pemain ini tidak berbeda jauh dengan tabel dengan 8 pemain. Bedanya, hanya kolom ke-8 yang dibuang, dan setiap pemain yang bertanding melawan kelompok 8 (sebagai dummy) diberi tanda "bye", yang artinya di round tersebut dia tidak bermain.. Misalnya, di round 4, team 2 diberi tanda "bye". Artinya, di round 4 ini, team 2 tidak bertanding.

Jadi, kita harus selalu membentuk kelompok dummy jika kita ingin menyusun jadwal dengan jumlah pemain ganjil. Misalkan, jika jumlah kelompoknya ada 5, kita tambahkan 1 kelompok dummy (yang dilabelkan dengan kelompok "6"), sehingga jumlahnya menjadi genap.

MENGGUNAKAN KONGRUENSI MODULO UNTUK MENYUSUN ROUND-ROBIN
Cara ini dikembangkan oleh Freund. Di sini, kita tidak akan membahas bukti, karena sesungguhnya buktinya hanyalah logika biasa. Jadi, kita akan langsung membahas algoritma Freund ini.
ALGORITMA FREUND:
Diketahui bahwa jumlah team yang ikut serta adalah sebanyak N, dimana N adalah genap. Pada Round ke-R, team i akan melawan team j, maka berlaku ketentuan sebagai berikut:

Ketentuan di atas selalu berlaku KECUALI jika i = j (karena tidak mungkin ada team yang melawan dirinya sendiri) atau jika ada j yang sudah dipakai di petak dengan i lebih kecil (sebelumnya) (agar tidak terjadi bentrok). Jika ketentuan ini dilanggar, kosongkan dulu nilai j.

Ketentuan yang lain: Jika ternyata terdapat 2 nilai j yang memenuhi, maka ambillah nilai j yang lebih kecil.

Kita akan langsung menggunakan contoh dimana jumlah pemain (N) = 8. Dengan menggunakan algoritma Freund, kita dapatkan tabel setengah jadi (abaikan warnanya) sebagai berikut:
R\ i
12345678
Round 1 765
321
Round 2 87654321
Round 3 2176
43
Round 4 3
17654
Round 5 43217
5
Round 6 54
2176
Round 7 65432187
Tabel setegah jadi dari Algoritma Freund (tabel 4)
Note: warna hanya sebagai pelengkap penjelasan di bawah.

Berikut penjelasan darimana angka-angka itu didapat (tapi hanya dibahas sebagian):
*) Lihat kotak dengan angka 7:
R = 1, dan i =1, maka (1+j) = 1 mod (7).
Nilai j yang memenuhi adalah 7.
*) Lihat kotak dengan angka 5:
R = 1, dan i =3, maka (3+j) = 1 mod (7).
Nilai j yang memenuhi adalah 5.
*) Lihat kotak kosong dengan background ungu:
R=1, dan i=4, maka (4+j) = 1 mod (7).
Nilai j yang memenuhi adalah 4.
Namun, karena i = j, maka kotak ini harus dikosongkan dahulu.
*) Lihat kotak kosong dengan background merah:
R=1, i =8, maka (8+j) = 1 mod (7).
Nilai j yang memenuhi adalah 7.
Namun, karena 7 sudah dipakai di petak sebelumnya (R=1, i=1), maka 7 tidak dapat digunakan lagi, maka kosongkan dulu petak ini.
*) Lihat kotak dengan angka 2:
R = 3, dan i =1, maka (1+j) = 3 mod (7).
Nilai j yang memenuhi adalah 2.
*) Lihat kotak dengan angka 1:
R = 3, dan i =2, maka (2+j) = 3 mod (7).
Nilai j yang memenuhi adalah 1 dan 8.
Pilih yang terkecil, yaitu 1.
*) Lihat kotak kosong dengan background kuning:
R=4, i =2, maka (2+j) = 4 mod (7).
Nilai j yang memenuhi adalah 2.
Namun, karena i = j, maka kosongkan dulu petak ini.
*) Lihat kotak kosong dengan background hijau:
R=4, i=8, maka (8+j) = 4 mod (7).
Nilai j yang memenuhi adalah 3.
Namun, karena 3 sudah dipakai sebelumnya (R=4, i=1), maka kosongkan dulu petak ini.

Untuk petak -petak yang lain, caranya sama seperti contoh-contoh di atas....
Nah, setelah tabel setengah jadi di atas selesai, kita tinggal mengisi kotak-kotak yang masih kosong dengan nilai yang mungkin. Misalnya, karena di round 1, team 4 dan team 8 keduanya masih kosong, maka 4 akan melawan 8, dan 8 akan melawan 4. Cara yang sama juga kita lakukan untuk kotak kosong yang lain.

12345678
Round 1 7658
3214
Round 2 87654321
Round 3 21768
435
Round 4 38
176542
Round 5 432178
56
Round 6 548
2176
3
Round 7 65432187
Tabel hasil akhir algoritma Freund (tabel 5)
Hasil dari tabel ini sama persis seperti tabel 2.
Mudah sekali kan menyusun jadwal Round-Robin.. ^^

MENGGUNAKAN ROTASI UNTUK MENYUSUN ROUND-ROBIN
Selain cara Freund, ada cara lain yang digunakan untuk menyusun jadwal Round-Robin, yaitu dengan rotasi. Rotasi merupakan cara yang sangat mudah. Pertama-tama, kita buat dulu 1 round, dengan gamenya sesuka hati kita.. ^^.. Misalkan, ada 8 team dan Round 1 adalah sebagai berikut:
Round 1 Team 1 vs Team 5
Team 2 vs Team 6
Team 3 vs Team 7
Team 4 vs Team 8
Kemudian, dengan membuat Team 1 tak bergerak, kita rotasikan team yang lain untuk menciptakan round kedua. Berikut adalah gambaran cara merotasikannya:

Maka, kita dapatkan round 2 sebagai berikut:
Round 2 Team 1 vs Team 2
Team 3 vs Team 5
Team 4 vs Team 6
Team 8 vs Team 7
Dengan cara yang sama, round yang lain dapat dibentuk. Hasilnya seperti tabel di bawah.
Round 1

Team 1 vs Team 5
Team 2 vs Team 6
Team 3 vs Team 7
Team 4 vs Team 8
Round 2
Team 1 vs Team 2
Team 3 vs Team 5
Team 4 vs Team 6
Team 8 vs Team 7
Round 3
Team 1 vs Team 3
Team 4 vs Team 2
Team 8 vs Team 5
Team 7 vs Team 6
Round 4
Team 1 vs Team 4
Team 8 vs Team 3
Team 7 vs Team 2
Team 6 vs Team 5
____
Round 5 Team 1 vs Team 8
Team 7 vs Team 4
Team 6 vs Team 3
Team 5 vs Team 2
Round 6 Team 1 vs Team 7
Team 6 vs Team 8
Team 5 vs Team 4
Team 2 vs Team 3
Round 7
Team 1 vs Team 6
Team 5 vs Team 7
Team 2 vs Team 8
Team 3 vs Team 4
Tabel Round-Robin menggunakan rotasi (tabel 6)

Cara rotasi ini memiliki keuntungan lebih dibandingkan cara Freund, karena lebih fleksibel (tergantung inisialisasinya), juga lebih mudah dan lebih cepat dibuat.. ^^

PEMILIHAN HOME DAN AWAY
Ada sedikit kekurangan yang ada dalam penyusunan jadwal Round-Robin di atas, yaitu masalah Home dan Away.

Misalkan ada kata-kata: "Team 1 vs Team 8", maka di sini Team 1 adalah Home (karena terletak sebelum vs) dan Team 8 adalah Away (karena terletak setelah vs). Terlihat bahwa dalam tabel 1 di atas, Team 8 selalu mendapat Away, sedangkan team 1 selalu mendapat Home. Pastinya, dalam kehidupan nyata, hal ini harus dihindari agar Team 8-nya tidak protes.. Oleh karena itu, sebaiknya kita membuat suatu sistem jadwal sehingga setiap team mendapat jatah Home dan Away yang sama.

Sebetulnya, kita dapat menggunakan cara manual, namun terlalu lama, maka kita gunakan cara di bawah:
Diketahui "Team i vs Team j".
Jika i+j ganjil, Home ditempati oleh i atau j yang lebih kecil.
Jika i+j genap, Home ditempati oleh i atau j yang lebih besar.
Sebagai contoh:
"Team 2 vs Team 8". Karena 2+8 genap, maka posisi Home ditempati oleh Team yang lebih besar, yaitu 8. Maka, sekarang berubah menjadi "Team 8 vs Team 2".
"Team 1 vs Team 5". Karena 1+5 adalah ganjil, maka Home ditempati oleh Team yang lebih kecil. Maka, tidak ada perubahan.

Jika kita memodifikasi tabel 1 dengan pemilihan Home dan Away ini, maka hasilnya menjadi seperti berikut:
Round 1

Team 7 vs Team 1
Team 6 vs Team 2
Team 5 vs Team 3
Team 8 vs Team 4
Round 2
Team 1 vs Team 8
Team 2 vs Team 7
Team 3 vs Team 6
Team 4 vs Team 5
Round 3
Team 1 vs Team 2
Team 7 vs Team 3
Team 6 vs Team 4
Team 5 vs Team 8
Round 4
Team 3 vs Team 1
Team 8 vs Team 2
Team 4 vs Team 7
Team 5 vs Team 6
____
Round 5 Team 1 vs Team 4
Team 2 vs Team 3
Team 7 vs Team 5
Team 8 vs Team 6
Round 6 Team 5 vs Team 1
Team 4 vs Team 2
Team 3 vs Team 8
Team 6 vs Team 7
Round 7
Team 1 vs Team 6
Team 2 vs Team 5
Team 3 vs Team 4
Team 7 vs Team 8
Tabel 1 yang dimodifikasi home dan away-nya (tabel 7)

Kita perlu waktu cukup lama untuk menentukan home dan away dari tabel 1, namun khusus untuk yang cara rotasi, kita tidak perlu menggunakan teori-teori seperti di atas. Perhatikan bahwa team yang berotasi akan menjadi home dan away secara bergilir. Artinya, yang perlu diperbaiki home dan away-nya hanyalah team yang tidak berotasi. Pada kasus tabel 6, artinya, kita cukup memperbaiki Home dan Away dari pertandingan Team 1.

Berikut hasil modifikasi home dan away terhadap tabel 6:
Round 1

Team 1 vs Team 5
Team 2 vs Team 6
Team 3 vs Team 7
Team 4 vs Team 8
Round 2
Team 1 vs Team 2
Team 3 vs Team 5
Team 4 vs Team 6
Team 8 vs Team 7
Round 3
Team 1 vs Team 3
Team 4 vs Team 2
Team 8 vs Team 5
Team 7 vs Team 6
Round 4
Team 1 vs Team 4
Team 8 vs Team 3
Team 7 vs Team 2
Team 6 vs Team 5
____
Round 5 Team 8 vs Team 1
Team 7 vs Team 4
Team 6 vs Team 3
Team 5 vs Team 2
Round 6 Team 7 vs Team 1
Team 6 vs Team 8
Team 5 vs Team 4
Team 2 vs Team 3
Round 7
Team 6 vs Team 1
Team 5 vs Team 7
Team 2 vs Team 8
Team 3 vs Team 4
Tabel 6 yang diperbaiki home dan away-nya (tabel 8)
Kita cukup memperhatikan bagian yang berwarna merah. Dari 7 round yang ada, kita cukup membalikkan 3 atau 4 buah. Itupun sesuka hati kita.. Di sini, cara rotasi benar-benar memberikan keuntungan yang luar biasa. ^^

=========================================================================
CLOSING
Round-Robin Tournament merupakan sistem yang sering digunakan dalam suatu pertandingan. Namun, seringkali sistem ini digabung dengan sistem gugur. Sebagai contoh, lomba atletik, badminton, sepakbola, ataupun catur semuanya menggunakan sistem Round-Robin Tournament di babak seleksi (yang dilakukan antar grup team atau wilayah). Setelah terkumpul sekitar 8 atau 16 team, barulah digunakan sistem gugur.

Sebetulnya, ada lagi 1 cara untuk menyusun jadwal Round Robin, bahkan sama sekali tidak perlu menghitung. Cara ini juga dilakukan dalam sekejap.!! Silakan gunakan free generator yang tersedia di http://www.teamopolis.com/tools/round-robin-generator.aspx. Weks.. Pasti kalian berpikir: "Aduuuu.. Saya udah belajar capek-capek, ternyata ada tool beginian"... Hahahaha.. Yang penting, kalian mau mencoba belajar dan tahu seluk-beluk Round-Robin, kemudian barulah menggunakannya.. Tul, gak? ^^

N, saya sarankan agar tabel di atas dibau sendiri agar kalian dapat berlatih. Melihat saja tidak akan cukup.


Click Here to Read More..

Friday, June 5, 2009

Pigeonhole Principle ... (ii)

Lanjutan dari post sebelumnya...
Kasus F:
Seperti kasus nomor A. Sekarang, di laci ada 12 kaos kaki hitam, 13 kaos kaki putih, 20 kaos kaki biru, 5 kaos kaki merah, 1 kaos kaki hijau, dan 1 kaos kaki kuning. Berapa banyak kaos kaki minimal yang harus diambil agar setidaknya:
a) terdapat 2 kaos kaki yang memiliki warna yang sama
b) terdapat 2 kaos kaki yang memiliki warna yang berbeda.

(Ayo berpikir)...
Jawaban dapat dilihat di bawah... ^^..
Ada juga kasus-kasus lain yang lebih seru dan menantang..
=========================================================================

Jawaban Kasus F:
a)
Kemungkinan terburuk yaitu saat mengambil 6 kaos kaki yang semuanya berbeda warna (hitam, putih, biru, merah, hijau, dan kuning). Oleh karena itu, kaos kaki minimal yang harus diambil agar setidaknya terdapat 2 kaos kaki dengan warna sama adalah 7 buah.
b) Kemungkinan terburuk yaitu saat mengambil 20 kaos kaki yang semuanya berwarna biru. Oleh karena itu, kaos kaki minimal yang harus diambil agar setidaknya terdapat 2 kaos kaki dengan warna berbeda adalah 21 buah.

Nah, ternyata masalah tersebut dapat ditinjau berdasarkan kemungkinan terburuknya. Berikut di bawah, akan dijelaskan kasus-kasus yang membuat kita harus meninjau kemungkinan terburuknya sebelum menuju kesimpulan...
=========================================================================
Pigeonhole Principle dan Teori Bilangan II

Kasus G:
Diberikan barisan bilangan dari 1,2,3,...,100. Jika dari barisan bilangan tersebut diambil 51 bilangan, buktikan bahwa paling tidak ada 2 bilangan yang selisihnya 50.

Jawab:
Sebelumnya, perhatikan di bawah.
Diberikan barisan dari a+1 sampai 2n, sebagai berikut:
a+1, a+2, a+3, a+4, ... , a+2n-1, a+2n
Dengan demikian, akan terdapat pasangan bilangan yang selisihnya n, seperti (a+1, a+n+1), (a+2, a+n+2), ... , (a+n, a+2n). Jumlah seluruh pasangan ini berjumlah n. Maka, dengan mengambil bilangan yang minimal n+1, maka pasti akan selalu ada pasangan bilangan yang selisihnya n.

Soal di atas diambil a = 0 dan n=50.

Kasus H:
Diberikan barisan bilangan dari 1,2,3,...,100. Jika dari barisan bilangan tersebut diambil 55 bilangan, buktikan bahwa paling tidak ada 2 bilangan yang selisihnya 9.

Jawab:

Perhatikan bahwa sesungguhnya soal ini tidak berbeda jauh dengan soal sebelumnya. Kemungkinan terburuk yaitu dengan mengambil n bilangan dari barisan 2n (dimana n=9), sehingga bilangan yang selisihnya 9 tidak didapat. Berikut akan dijabarkan pemilihan kemungkinan terburuknya:

Dari 1,2,3, ..., 18 dipilih 9 bilangan, yaitu 1,2,3,...,9.
Dari 19, 20, 21, ..., 36 dipilih 9 bilangan, yaitu 19, 20, 21, ... , 27.
Dari 37, 38, 39, ..., 54 dipilih 9 bilangan, yaitu 37, 38, 39, ..., 45.
Dari 55, 56, 57, ..., 72 dipilih 9 bilangan, yaitu 55, 56, 57, ..., 63.
Dari 73, 74, 75, ..., 90 dipilih 9 bilangan, yaitu 73, 74, 75, ..., 81.
Dari 91,92,93,...,100 dipilih 9 bilangan, yaitu dari 91,92,93, ..., 99.

Dengan demikian, bilangan yang terpilih ada 54 bilangan. Masih kurang 1 bilangan untuk mencapai 55 bilangan, dan bilangan apapun yang dipilih akan menyebabkan adanya bilangan yang selisihnya 9, misalnya 100 (100-91 = 9), atau 17 (17-8=9 dan 26-17 = 9). Dengan pemilihan kemungkinan terburuk ini sudah ada bilangan yang selisihnya 9, maka pernyataan di soal terbukti kebenarannya.

Kasus I:
Diberikan barisan bilangan dari 1,2,3,...,100. Jika dari barisan bilangan tersebut diambil 55 bilangan, buktikan bahwa belum tentu ada 2 bilangan yang selisihnya 11.

Jawab:
Sama seperti sebelumnya.
Dari 1,2,3, ..., 22 dipilih 11 bilangan, yaitu 1,2,3,...,11.
Dari 23,24,25, ..., 44 dipilih 11 bilangan yaitu 23,24,25,...,33.
Dari 45,46,47,..., 66 dipilih 11 bilangan, yaitu 45,46,47,..., 55.
Dari 67,68,69, ... , 88 dipilih 11 bilangan, yaitu 67,68,69,...,77.
Dari 89,90,91, ...,100 dipilih 11 bilangan, yaitu 89,90,91,...,99.

Perhatikan bahwa kita sudah memilih 55 bilangan, namun belum ada pasangan bilangan yang selisihnya 11. Maka, pernyataan di soal terbukti.

Note: Seandainya, jumlah bilangan yang diambil adalah 56, maka paling tidak ada 2 bilangan yang selisihnya 11, karena bilangan yang ke-56 akan menyebabkan selisih 11 dengan salah satu dari 55 bilangan yang sudah ada sebelumnya.

Kasus J:
Latihan si Master Catur
Seorang master catur punya 77 hari untuk latihan sebelum turnamen dimulai. Untuk itu ia menerapkan program latihan: setiap hari paling tidak bermain catur sekali, tetapi secara keseluruhan banyaknya permainan tidak lebih dari 132. Buktikan bahwa ada barisan hari berturut-turut disaat ia bermain catur sebanyak tepat 21 kali.

Jawab:

Pertama, ada 77 hari untuk latihan dan setiap hari minimal satu permainan. Kedua ada 132, yaitu banyaknya seluruh permainan maksimal dalam latihan. Jika kita memisalkan sebagai banyaknya permainan yang telah ia lakukan sampai hari ke-i dengan i = 1, 2, …, 77, maka paling tidak 1, paling tidak 2, dst, sampai paling banyak 132. Secara matematika dapat dituliskan sebagai berikut.


Perhatikan bahwa kasus ini identik dengan kasus berikut:
"Diberikan barisan bilangan dari 1,2,3,...,132. Jika dari barisan bilangan tersebut diambil 77 bilangan, buktikan bahwa paling tidak ada 2 bilangan yang selisihnya 21."

Maka, kasus ini sama seperti Kasus H sebelumnya.

Tinjau kemungkinan terburuknya:
Dari 1,2,3, ..., 42 dipilih 21 bilangan, yaitu 1,2,3,...,21.
Dari 43,44,45, ..., 84 dipilih 21 bilangan yaitu 43,44,45,..., 63.
Dari 85, 86, 87, ..., 126 dipilih 21 bilangan, yaitu 85,86,87, ..., 105.
Dari 127,128, ...,132 dipilih semuanya (6 bilangan), yaitu 127,128,129,...,132.

Sudah ada 69 bilangan yang dipilih. Artinya, 1 bilangan lagi yang dipilih, apapun itu, mengakibatkan ada pasangan yang selisihnya 21. Artinya, 70 bilangan saja sudah cukup untuk membuat adanya paling tidak 2 bilangan yang selisihnya 21, sedangkan di soal tertulis "77 bilangan" yang artinya kondisi yang berlebih.

Jadi, terbukti bahwa ada barisan hari berturut-turut disaat ia bermain catur sebanyak tepat 21 kali.

Note: Soal yang sama bisa dilihat di majalah Zero edisi ke-2 halaman 14(sumber lihat di bawah), namun di sini saya mengoreksi sedikit solusi yang dijabarkan di sana.

Kasus K:
Blok Yang Habis Dibagi n – dari Erdos pada Marta Sved.
Misalkan kita tulis secara acak suatu barisan bilangan bulat yang terdiri dari n suku, maka terdapat suatu blok suku-suku yang berurutan yang jumlahnya habis dibagi n. Contohnya, kita bangun secara acak barisan dengan 7 suku:
54, 22, 9, 15, 24, 59, 102
Perhatikan bahwa terdapat suatu blok: 15, 24, 59 yang jumlahnya 98, habis dibagi 7. Buktikan hasil ini.

Jawab:
Misalkan barisan tersebut adalah
Sekarang, misalkan simbol menyatakan deret barisan, yang dijabarkan sbb:





Jika dapat dibagi n atau mod 7 = 0, maka pembuktian selesai.

Namun, jika tidak dapat dibagi n, maka kita tinjau sisa pembagian terhadap n dari yang mungkin (dari 1 sampai n-1). Artinya, ada n-1 jumlah kemungkinan sisa pembagian. Misalkan jika n=7, maka kemungkinan sisa pembagian terhadap 7 selain nol adalah 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.

Namun, karena jumlah blok ada sebanyak n buah sedangkan kemungkinan sisa pembagian yang berbeda adalah n-1 buah, artinya pasti ada dan () yang sisa pembagiannya sama. Karena sisa pembagiannya sama, maka:


Maka, kita telah mendapatkan blok yang habis dibagi n, yaitu dari sampai .

Kasus J:
Misalkan A adalah himpunan dua puluh bilangan berbeda yang dipilih dari himpunan B = {1, 4, 7, …, 100}. Buktikan bahwa paling tidak ada dua anggota A berbeda yang jumlahnya 104.

Jawab:

Pertimbangkan himpunan bilangan C, himpunan semua pasangan yang jumlahnya 104, yang anggotanya diambil dari B.
C = {(4,100),(7,97),...,(49,54)}.
Terlihat bahwa ada tujuh belas anggota C. Ambil salah satu bilangan dari setiap pasangan di C, tambahkan 1 dan 52 (dua bilangan di B yang tidak ada di C) untuk membentuk A. Karena baru ada sembilan belas anggota, kita harus mengambil salah satu bilangan di C. Apapun bilangan itu, pasangannya sudah ada di A dan jumlahnya 104. Terbukti.

=========================================================================
Materi Pigeonhole principle sesungguhnya banyak sekali ditemukan di kehidupan kita sehari-hari, dan kasusnya tidak sesederhana kasus-kasus di atas. Selain, teori bilangan, prm bisa muncul dalam kasus geometri, trigonometri, dan sebagainya.

Dalam ilmu komputer pun, prm muncul secara alami pada masalah tabel hash. Tumbukan dalam tabel hash tidak dapat dihindari karena banyaknya kunci yang mungkin melebihi batas kapasitas suatu array. Untuk mengatasinya didefinisikan perumuman prm yang bersifat probabilistik.

Namun, masalah-masalah tersebut tidak akan dibahas sekarang. Mungkin, kalau aku ada waktu, materi ini akan saya lanjutkan.. ^^.. See you.


Click Here to Read More..