Jika kalian diharuskan menghitung perkalian dua digit atau mungkin pangkat tiga dari suatu bilangan, bagaimanakah kalian menghitungnya?
Sebagai contoh, perhatikan ilustrasi berikut.
Nah ilustrasi di atas menunjukkan perkalian vertikal, dikerjakan dari atas ke bawah... Jika kalian mengerjakan perkalian ini, pertama kita harus mengalikan 28 dengan 7, lalu 28 dengan 4, kemudian, hasil keduanya dijumlahkan dalam bentuk tangga... Umpph... Kalian merasa sedikit ribet..?? Mungkin saja tidak... Tapi, sesungguhnya saya akui metode vertikal ini agak sedikit ribet. Untuk melakukan perkalian 2 digit saja kita harus mengalikan sebanyak dua kali, kemudian hasilnya dijumlahkan lagi. Tingkat kesalahannya sangat tinggi!!!!!
Sedangkan dengan metode horisontal, kita dapat mengerjakannya dengan cara berikut:
Selain lebih akurat, lebih mudah, bahkan juga memungkinkan perhitungan yang lebih cepat. Plus, manfaat lain yaitu hemat kertas!!!
Hmmm... Mau tahu apa latar belakang metris? Bagaimana cara kerja metris ini? Dan pertanyaan-pertanyaan yang lain. Silakan simak di bawah..^^
=========================================================================Sebagai contoh, perhatikan ilustrasi berikut.
Sedangkan dengan metode horisontal, kita dapat mengerjakannya dengan cara berikut:
Hmmm... Mau tahu apa latar belakang metris? Bagaimana cara kerja metris ini? Dan pertanyaan-pertanyaan yang lain. Silakan simak di bawah..^^
Metris dikembangkan oleh Stephanus Ivan Goenawan. Sekarang, dia adalah seorang dosen fisika di Universitas Katolik Atma Jaya. Konsep metris berawal dari pemikiran bahwa suatu bilangan dapat dipecah-pecah menjadi elemen-elemen satuan, puluhan, ratusan, dan seterusnya...
Bila dibandingkan dengan sempoa, metris memang lebih ilmiah meskipun sama-sama menggunakan perhitungan mental aritmatika dan mengandalkan konsep asosiasi posisi. Perbedaannya, metris bisa menjelaskan langkah yang diambil karena menggunakan cara berpikir matematika seperti yang digunakan di sekolah pada umumnya.
Bila dibandingkan dengan sempoa, metris memang lebih ilmiah meskipun sama-sama menggunakan perhitungan mental aritmatika dan mengandalkan konsep asosiasi posisi. Perbedaannya, metris bisa menjelaskan langkah yang diambil karena menggunakan cara berpikir matematika seperti yang digunakan di sekolah pada umumnya.
Lalu? Mengapa metris bisa berkembang sekarang?? Kenapa tidak ada satu orang pun yang berpikir mengenai hal ini sebelumnya?
Cara berpikir metris memang sudah ada sebelumnya.. Bahkan sudah banyak beredar buku-buku mengenai cara menghitung cepat di toko-toko buku sekitar kita.. Namun, sayangnya pemikiran itu kurang universal. Jika kita menemukan kasus perkalian, misalnya, kita lebih condong menghitungnya secara vertikal (cara biasa). Cara kreatif kurang digunakan karena waktunya justru lebih lama, karena bilangan itu harus diolah terlebih dahulu. Kurang ada suatu terobosan yang membuat perhitungan lebih cepat.
Hal inilah yang disadari Ivan. Dalam metris dikenalkan suatu simbol pagar atau dituliskan dengan "|". Simbol ini menandakan pemisah antara ratusan, puluhan, satuan, dan sebagainya (akan dijelaskan di bawah). Simbol ini sendiri diperlakukan mirip dengan operasi perkalian dan penjumlahan. Dengan adanya notasi pagar ini sekaligus sifat-sifatnya yang dapat diturunkan secara matematis, metris menjadi bukan sekadar omong kosong belaka. Metris siap menjadi suatu terobosan metode hitung yang baru dan dipelajari setiap orang.. ^^
Cara berpikir metris memang sudah ada sebelumnya.. Bahkan sudah banyak beredar buku-buku mengenai cara menghitung cepat di toko-toko buku sekitar kita.. Namun, sayangnya pemikiran itu kurang universal. Jika kita menemukan kasus perkalian, misalnya, kita lebih condong menghitungnya secara vertikal (cara biasa). Cara kreatif kurang digunakan karena waktunya justru lebih lama, karena bilangan itu harus diolah terlebih dahulu. Kurang ada suatu terobosan yang membuat perhitungan lebih cepat.
Hal inilah yang disadari Ivan. Dalam metris dikenalkan suatu simbol pagar atau dituliskan dengan "|". Simbol ini menandakan pemisah antara ratusan, puluhan, satuan, dan sebagainya (akan dijelaskan di bawah). Simbol ini sendiri diperlakukan mirip dengan operasi perkalian dan penjumlahan. Dengan adanya notasi pagar ini sekaligus sifat-sifatnya yang dapat diturunkan secara matematis, metris menjadi bukan sekadar omong kosong belaka. Metris siap menjadi suatu terobosan metode hitung yang baru dan dipelajari setiap orang.. ^^
=========================================================================
Sudah siap mengenal metris dan cara kerjanya? Namun, di blog ini hanya dibahas sebagian kecil saja. Perkalian adalah topik yang diutamakan. Sebelumnya, kita harus mengenal mengenai notasi pagar.
Metris menggunakan notasi pagar, yang didefinisikan sebagai berikut.
untuk 
dan seterusnya.
Supaya kita benar-benar mengenal notasi ini, perhatikan contoh di bawah:
| ● | 625 dapat dituliskan menjadi 6 || 25 karena 625 = 6*100 + 25 |
| ● | 625 juga dapat dituliskan menjadi 62 | 5 karena 625 = 62*10+5 |
| ● | 625 juga dapat dituliskan menjadi 6 | 2 | 5 karena 625= (6*10+ 2)*10+5 Perhatikan bahwa jika 625 ditulis menjadi 6 || 2 | 5 maka menjadi salah. |
| ● | Maksud dari 6 || 2 | 5 adalah (6*100+2)*10 + 5 = 6025. |
| ● | 12890900 dapat ditulis menjadi 128 | 9 ||| 9 || karena 12890900 = (((128*10+9)*1000)+9)*100 Akan tetapi, sebaiknya ditulis menjadi 128 | 9 ||| 900 untuk mencegah kebingungan.. Artinya, di sebelah tanda pagar harus terdapat angka. |
| ● | 34 | 56 = 396 Alasannya: 34 | 56 = 34*10+56 = 34*10+5*10+6 = (34+5)*10+6=39*10+6=39 | 6 = 396 |
| ● | 123 | 23 | 125 = 123 | 35 | 5 = 126 | 5 | 5 = 12655 Jelaskan jawaban ini dengan menjabarkannya.. |
Oleh karena notasi pagar mengindikasikan posisi dari bilangan maka dalam setiap pagar mewakili hanya satu digit bilangan di bagian kanannya. Bila ada lebih dari satu digit harus digeser ke kolom sebelah kirinya (Kita selalu bekerja dalam arah kanan ke kiri). Cara menggesernya dengan cara menambahkan bilangan 'yang berlebihan' ke kolom sebelah kirinya.
Perhatikan contoh di bawah:
4 | 20 | 25 = 4 | 20+2 | 5 = 4 | 22 | 5
Selanjutnya proses diulangi lagi sbb:
4+2 | 2 | 5 = 6 | 2 | 5
Setelah dalam notasi pagar hanya terdapat satu digit bilangan maka
perhitungan selesai. Sehingga :
6 | 2 | 5 = 625
Nah, bagaimana kalau ada pagar2? Pagar2 sendiri mengindikasikan bahwa di kolom kanannya harus terdapat 2 digit angka. Jangan lupa, sifat pergeseran tetap berlaku, dan kita selalu menggeser dari kanan ke kiri..
Perhatikan lagi contoh di bawah:Selanjutnya, sifat yang sama juga berlaku untuk pagar3, pagar4, dan seterusnya..
236 || 598 || 423 = 236 || 598 + 4 || 23 = 236 || 602 || 23
Selanjutnya proses diulangi lagi sbb:
236+6 || 02 || 23 = 242 || 02 || 23
Karena syarat bahwa "sebelah kanan pagar 2 harus terdapat 2 digit" sudah terpenuhi, maka jawaban sudah didapat.
242 || 02 || 23 = 2420223.
Mudah bukan? Selanjutnya, kita akan membahas mengenai perkalian. ^^
=========================================================================
Di sini, setiap bilangan dipecah menjadi elemen satuan, puluhan, ratusan, dan sebagainya. Inilah yang membuat perkalian di metris menjadi lebih mudah. Di sini, akan diberikan berbagai rumus-rumus, namun sesungguhnya penurunannya sangat mudah.
PERKALIAN BILANGAN 2 DIGIT ab * cd
ab* cd = a*c | a*d + b* c | b*d
Bukti:
ab * cd = (a*10 + b)*(c*10+d)
______= (a*10 + b)*(c*10+d)
______= a*c*100 + a*d*10+b*c*10+b*d
______= a*c*100 + (a*d+b*c)*10+b*d
______= a*c | a*d + b* c | b*d
Contoh 1:ab* cd = a*c | a*d + b* c | b*d
Bukti:
ab * cd = (a*10 + b)*(c*10+d)
______= (a*10 + b)*(c*10+d)
______= a*c*100 + a*d*10+b*c*10+b*d
______= a*c*100 + (a*d+b*c)*10+b*d
______= a*c | a*d + b* c | b*d
87*69 = ....
Jawab
87*69 = 8*6 | 8*9 + 7*6 | 7*9
______= 48 | 72 + 42 | 63
______= 48 | 114 | 63
______= 48 | 120 | 3 (ingatlah konsep pergeseran yang sudah dijelaskan sebelumnya!!)
______= 60 | 0 | 3
______= 6003
KUADRAT BILANGAN 2 DIGIT
ab^2 = a^2 | 2*a*b | b^2
Bukti: (seharunya kamu bisa membuktikannya)
Contoh 2:ab^2 = a^2 | 2*a*b | b^2
Bukti: (seharunya kamu bisa membuktikannya)
98^2= ....
Jawab
98^2= 9^2 | 2*9*8 | 8^2
____= 81 | 144 | 64
____= 81 | 150 | 4
____= 96 | 0 | 4
____= 9604
KASUS PAGAR BOBOT 2, PAGAR BOBOT 3, DAN SETERUSNYA
(a|||bcd)^2 = a^2 ||| 2*a*(bcd) ||| (bcd)^2
Bukti: (uraikan sendiri..)
Contoh 3:Kita tahu bahwa (a|b)^2 = a^2 | 2*a*b | b^2. Kasus ini juga berlaku untuk pagar bobot 2, bobot 3, dan seterusnya.. Misalnya:
(a||bc)^2 = a^2 || 2*a*(bc) || (bc)^2(a|||bcd)^2 = a^2 ||| 2*a*(bcd) ||| (bcd)^2
Bukti: (uraikan sendiri..)
507^2= ....
Jawab:
507^2= (5 || 7)^2
_____= 5^2 || 2*5*7 || 7^2
_____= 25 || 70 || 49
_____= 257049
Contoh 4:
9006^2 = ....
Jawab cara I:
9006^2 = (9 ||| 6 )^2
_______= 9^2 ||| 2*9*6 ||| 6^2
_______= 81 ||| 108 ||| 36
_______= 81108036
Jawab cara II:
9006^2 = (90 || 6 )^2
_______= 90^2 || 2*90*6 || 6^2
_______= 8100 || 1080 || 36
_______= 8110 || 80 || 36
_______= 81108036
Contoh 5:
498^2 = ....
Jawab:
498^2 = (4 || 98)^2
______= 4^2 || 2* 4 * 98 || 98 ^2
______= 4^2 || 2* 4 * 98 || 9604 (Kita sudah mendapatkan 98^2 sebelumnya)
______= 16 || 784 || 9604
______= 16 || 880 || 04
______= 24 || 80 || 04
______= 248004
Perhatikan bahwa kita dapat menyelesaikan kuadrat bilangan berdigit 3 dengan memecahnya menjadi 2 bagian terlebih dahulu.. Namun, ternyata perhitungan 2*4*98 dianggap cukup memakan waktu. 98^2 pun harus dihitung terlebih dahulu.. Adakah cara yang lain? Sabar.. Lihat lanjutannya di bawah.
PERKALIAN BILANGAN 3 DIGIT
abc* def = a*d | a*e + b*d | a*f + b*e + c*d | b*f + c*e | c*f
Bukti: (caranya seperti sebelumnya)
abc* def = a*d | a*e + b*d | a*f + b*e + c*d | b*f + c*e | c*f
Bukti: (caranya seperti sebelumnya)
Contoh 6:
619*257 = ....
Jawab:
619*257 = 6*2 | 6*5 + 1*2 | 6*7 + 1*5 + 9*2 | 1*7 + 9*5 | 9*7
_______= 12 | 32 | 42 + 5 + 18| 52 | 63
_______= 12 | 32 | 65| 52 | 63
_______= 12 | 32 | 65| 52 | 63
_______= 12 | 32 | 65| 58 | 3
_______= 12 | 32 | 70 | 8 | 3
_______= 12 | 39 | 0 | 8 | 3
_______= 15 | 9 | 0 | 8 | 3
_______= 159083
KUADRAT BILANGAN 3 DIGIT
abc^2 = a^2 | 2*a*b | 2*a*c + b^2 | 2*b*c | c^2
Bukti: (You should know how...)
Contoh 7:abc^2 = a^2 | 2*a*b | 2*a*c + b^2 | 2*b*c | c^2
Bukti: (You should know how...)
498^2 = .... (kali ini gunakan cara yangberbeda)
Jawab:
498^2 = 4^2 | 2*4*9 | 2*4*8 + 9^2 | 2*9*8 | 8^2
_____= 16 | 72 | 64 + 81 | 144 | 64
_____= 16 | 72 | 145 | 144 | 64
_____= 16 | 72 | 145 | 150 | 4
_____= 16 | 72 | 160 | 0 | 4
_____= 16 | 88 | 0 | 0 | 4
_____= 24 | 8 | 0 | 0 | 4
_____= 248004
Ternyata, dapat dikerjakan dengan jauh lebih mudah dan cepat...
PANGKAT TIGA
ab^3 = a^3 | 3*a^2*b | 3*a*b^2 | b^3
Bukti: (Masih ingatkah dengan segitiga Pascal dan binomial Newton?)
ab^3 = a^3 | 3*a^2*b | 3*a*b^2 | b^3
Bukti: (Masih ingatkah dengan segitiga Pascal dan binomial Newton?)
Contoh 8:
74^3 = ....
Jawab:
74^3 = 7^3 | 3* 7^2*4 | 3*7*4^2 | 4^3
____= 343 | 588 | 336 | 64
____= 343 | 588 | 342 | 4
____= 343 | 622 | 2 | 4
____= 405 | 2 | 2 | 4
____= 405224
Perhitungan awal memang cukup rumit... Namun, bandingkan, lebih rumit mana antara cara metris dengan cara yang biasanya kalian lakukan..!!
PANGKAT EMPAT, LIMA, DAN SETERUSNYA
ab^4 = a^4 | 4*a^3*b | 6*a^2*b^2 | 4*a*b^3 | b^4
ab^5 = a^5 | 5*a^4*b | 10*a^3*b^2 | 10*a^2*b^3 | 5*a*b^4 | b^5
dan seterusnya.....
Bukti: (Masih ingatkah dengan segitiga Pascal dan binomial Newton? Perlukah diingatkan kembali?)
Contoh 9:ab^4 = a^4 | 4*a^3*b | 6*a^2*b^2 | 4*a*b^3 | b^4
ab^5 = a^5 | 5*a^4*b | 10*a^3*b^2 | 10*a^2*b^3 | 5*a*b^4 | b^5
dan seterusnya.....
Bukti: (Masih ingatkah dengan segitiga Pascal dan binomial Newton? Perlukah diingatkan kembali?)
26^4 = ....
Jawab:
26^4 = 2^4 | 4*2^3*6| 6*2^2*6^2 | 4*2*6^3 | 6^4
____= 16 | 192 | 864 | 1728 | 1296
____= 16 | 192 | 864 | 1857 | 6
____= 16 | 192 | 1049 | 7 | 6
____= 16 | 296 | 9 | 7 | 6
____= 45 | 6 | 9 | 7 | 6
____= 456976
Meskipun awalnya sedikit rumit, namun cara metrislah yang paling efektif dalam menghitung pangkat.. Bandingkan jika kalian mengalikan 26 sebanyak 4 kali... Bisa tewas... T_T
=========================================================================
Sesungguhnya, ada banyak sekali hal-hal yang menarik untuk dipelajari mengenai metris. Ada banyak cara cepat lainnya. Misalkan: (a|5)^2 = (a*(a+1))|| 25. Contohnya: 85^2 = (8*9)|25 = 7225. Rumus ini sendiri sesungguhnya dapat kalian turunkan sendiri.. Namun, kalau sengaja dihapal, sebaiknya jangan... Yah, kecuali kalau kalian tidak sengaja menghapalnya.. Hahaha..
Metris memang metode yang cukup ampuh.. Jika dikombinasikan dengan metode vertikal, maka kalian bisa menghitung dengan optimal.
Untuk mempelajari metris lebih jauh, silakan pergi ke toko buku terdekat (Gramedia, etc).. Ada banyak sekali seri metris yang ditulis oleh Ivan Goenawan...
Metris memang metode yang cukup ampuh.. Jika dikombinasikan dengan metode vertikal, maka kalian bisa menghitung dengan optimal.
Untuk mempelajari metris lebih jauh, silakan pergi ke toko buku terdekat (Gramedia, etc).. Ada banyak sekali seri metris yang ditulis oleh Ivan Goenawan...
 |  |  |
Jangan sampai kehabisan... Hahaha.. (Koq jadi promosi.. ) :P.
gooooood
ReplyDeletebagus pak...sy coba cari bukunya
ReplyDeletemau donk bukunya . bagus
ReplyDeletekok cari di gramed gk ada ?
klo mo pesen gmn ?
Kyknya bisa pesen di sini: http://sigmetris.com.. :)
ReplyDeleteaku tadi ke gramedia tapi gak ada ini gmn?
ReplyDeleteKlo di gramed cari pake komputer nama pengarangnya Aa SIG tapi emang bisa juga dipesen di http://sigmetris.com
ReplyDeleteSorry, Sir ato ko hendry_dext (hehe... bingung saya mau gimana manggilnya). Begini saya ada pertanyaan dikit mengenai paragraf di bagian "CLOSING" yang benar yang mana ya : (a|5)^2 = (a*(a-1))|| 25 ato (a|5)^2 = (a*(a+1))|| 25 (bagian a*(a-1)).
ReplyDeleteThanks. I like your blog and your sharing.
Salam kenal dari cheer_champagne@yahoo.com.
Iya.. Terima kasi atas koreksinya.. Itu salah nulis. :P
ReplyDeletehehe... sorry again tapi kayaknya belum terkoreksi sir.
ReplyDeleteThanks.
(Saya masih ada tambah 1 di soal mengenai bab LCM tolong dibantu. Thanks.)
Oh.. Belom ya.. swt... Huix huix...
ReplyDeleteHohohoho
Pak sepertinya perlu diralat kalau perkalian horizontal hemat kertas, soalnya malah boros kertas
ReplyDelete@atas: Wah. Iya juga. Ternyata juga boros kertas. Haha.
ReplyDeleteijin posting di webku ya...
ReplyDeletemaaf, klo tuk siswa SD kasian tuh ..bikin pucing.
ReplyDeletekayaknya saya pernah liat da yg lebih cepat cara menghitung kuadrat ma pangkat 3. kayaknya demo dari Primagama klo da salah....
Ga juga ah, dah ku coba lebih efisien ini karena bilangan yang mo dipangkatkan boleh sembarang & ternyata hemat kertas lagii.. good dehh metriss..mantapp
ReplyDeleteApakah kalau perkalian 4 digit dan 3 dgit masih berlaku?Berikan rumus dan contohnya. Terima kasih.
ReplyDeleteso helpful sir...
ReplyDeleteBagus, ternyata kalo udah ngerti metris emang lebih cepat. Awalnya pusing juga euy...
ReplyDeleteklu bljr metris pasti pinter heheheheheheh
ReplyDeleteistimewa bener
ReplyDelete12890900 dapat ditulis menjadi 128 | 9 ||| 9 || karena
ReplyDelete12890900 = (((128*10+9)*1000)+9)*100
Akan tetapi, sebaiknya ditulis menjadi 128 | 9 ||| 900 untuk mencegah kebingungan.. Artinya, di sebelah tanda pagar harus terdapat angka.
Kyknya ini ada kesalahan deh.... Bukan harusny 128|9||||900 atau 128|9||9||?
bner tuhh,,jd bingung,,
Deletetp kok bs jd 128|9||9||?????
maaf sebelumx ap in udah ad software untung menghitungnyx blm?????tolong di jawab
ReplyDeletebuka milist dong,,
ReplyDeletebiar gampang kalo mau tanya-tanya,,,
Sangat Berharga Dari pada beli mainan lebih baik beli bukunya kak Stephanus Ivan Goenawan
ReplyDeleteMilis METRIS sudah ada koq, coba masuk via www.sigmetris.com
ReplyDeletejangan lupa ikutan Olimpiade-nya yukk Edutainment banget lohh
Bagus nih, metode simetris.. supaya belajar matematika lebih mudah di pahami, terutama buat anak-anak SD yang harus menguasai hitungan dasar yang mantap.
ReplyDelete