What's the content of this blog

Composition: Mathematics, my favourite lesson 90%. Mathematics Software 3%, My Life and Experience 3%, and Others 4%..
-- Here we can share knowledge --
-- Enjoy --

Thursday, June 18, 2009

Mengenal Metris (Metode Horisontal)

Jika kalian diharuskan menghitung perkalian dua digit atau mungkin pangkat tiga dari suatu bilangan, bagaimanakah kalian menghitungnya?

Sebagai contoh, perhatikan ilustrasi berikut.

Nah ilustrasi di atas menunjukkan perkalian vertikal, dikerjakan dari atas ke bawah... Jika kalian mengerjakan perkalian ini, pertama kita harus mengalikan 28 dengan 7, lalu 28 dengan 4, kemudian, hasil keduanya dijumlahkan dalam bentuk tangga... Umpph... Kalian merasa sedikit ribet..?? Mungkin saja tidak... Tapi, sesungguhnya saya akui metode vertikal ini agak sedikit ribet. Untuk melakukan perkalian 2 digit saja kita harus mengalikan sebanyak dua kali, kemudian hasilnya dijumlahkan lagi. Tingkat kesalahannya sangat tinggi!!!!!

Sedangkan dengan metode horisontal, kita dapat mengerjakannya dengan cara berikut:

Selain lebih akurat, lebih mudah, bahkan juga memungkinkan perhitungan yang lebih cepat. Plus, manfaat lain yaitu hemat kertas!!!

Hmmm... Mau tahu apa latar belakang metris? Bagaimana cara kerja metris ini? Dan pertanyaan-pertanyaan yang lain. Silakan simak di bawah..^^
=========================================================================

Metris dikembangkan oleh Stephanus Ivan Goenawan. Sekarang, dia adalah seorang dosen fisika di Universitas Katolik Atma Jaya. Konsep metris berawal dari pemikiran bahwa suatu bilangan dapat dipecah-pecah menjadi elemen-elemen satuan, puluhan, ratusan, dan seterusnya...

Bila dibandingkan dengan sempoa, metris memang lebih ilmiah meskipun sama-sama menggunakan perhitungan mental aritmatika dan mengandalkan konsep asosiasi posisi. Perbedaannya, metris bisa menjelaskan langkah yang diambil karena menggunakan cara berpikir matematika seperti yang digunakan di sekolah pada umumnya.

Lalu? Mengapa metris bisa berkembang sekarang?? Kenapa tidak ada satu orang pun yang berpikir mengenai hal ini sebelumnya?
Cara berpikir metris memang sudah ada sebelumnya.. Bahkan sudah banyak beredar buku-buku mengenai cara menghitung cepat di toko-toko buku sekitar kita.. Namun, sayangnya pemikiran itu kurang universal. Jika kita menemukan kasus perkalian, misalnya, kita lebih condong menghitungnya secara vertikal (cara biasa). Cara kreatif kurang digunakan karena waktunya justru lebih lama, karena bilangan itu harus diolah terlebih dahulu. Kurang ada suatu terobosan yang membuat perhitungan lebih cepat.

Hal inilah yang disadari Ivan. Dalam metris dikenalkan suatu simbol pagar atau dituliskan dengan "|". Simbol ini menandakan pemisah antara ratusan, puluhan, satuan, dan sebagainya (akan dijelaskan di bawah). Simbol ini sendiri diperlakukan mirip dengan operasi perkalian dan penjumlahan. Dengan adanya notasi pagar ini sekaligus sifat-sifatnya yang dapat diturunkan secara matematis, metris menjadi bukan sekadar omong kosong belaka. Metris siap menjadi suatu terobosan metode hitung yang baru dan dipelajari setiap orang.. ^^

=========================================================================

Sudah siap mengenal metris dan cara kerjanya? Namun, di blog ini hanya dibahas sebagian kecil saja. Perkalian adalah topik yang diutamakan. Sebelumnya, kita harus mengenal mengenai notasi pagar.


Metris menggunakan notasi pagar, yang didefinisikan sebagai berikut.
untuk
Penjabarannya dapat dilihat di bawah:



dan seterusnya.

Supaya kita benar-benar mengenal notasi ini, perhatikan contoh di bawah:

625 dapat dituliskan menjadi 6 || 25 karena 625 = 6*100 + 25

625 juga dapat dituliskan menjadi 62 | 5 karena 625 = 62*10+5

625 juga dapat dituliskan menjadi 6 | 2 | 5 karena 625= (6*10+ 2)*10+5
Perhatikan bahwa jika 625 ditulis menjadi 6 || 2 | 5 maka menjadi salah.

Maksud dari 6 || 2 | 5 adalah (6*100+2)*10 + 5 = 6025.

12890900 dapat ditulis menjadi 128 | 9 ||| 9 || karena
12890900 = (((128*10+9)*1000)+9)*100
Akan tetapi, sebaiknya ditulis menjadi 128 | 9 ||| 900 untuk mencegah kebingungan.. Artinya, di sebelah tanda pagar harus terdapat angka.

34 | 56 = 396
Alasannya:
34 | 56 = 34*10+56 = 34*10+5*10+6 = (34+5)*10+6=39*10+6=39 | 6 = 396

123 | 23 | 125 = 123 | 35 | 5 = 126 | 5 | 5 = 12655
Jelaskan jawaban ini dengan menjabarkannya..

Oleh karena notasi pagar mengindikasikan posisi dari bilangan maka dalam setiap pagar mewakili hanya satu digit bilangan di bagian kanannya. Bila ada lebih dari satu digit harus digeser ke kolom sebelah kirinya (Kita selalu bekerja dalam arah kanan ke kiri). Cara menggesernya dengan cara menambahkan bilangan 'yang berlebihan' ke kolom sebelah kirinya.
Perhatikan contoh di bawah:

4 | 20 | 25 = 4 | 20+2 | 5 = 4 | 22 | 5

Selanjutnya proses diulangi lagi sbb:

4+2 | 2 | 5 = 6 | 2 | 5

Setelah dalam notasi pagar hanya terdapat satu digit bilangan maka
perhitungan selesai. Sehingga :

6 | 2 | 5 = 625
Nah, bagaimana kalau ada pagar2? Pagar2 sendiri mengindikasikan bahwa di kolom kanannya harus terdapat 2 digit angka. Jangan lupa, sifat pergeseran tetap berlaku, dan kita selalu menggeser dari kanan ke kiri..
Perhatikan lagi contoh di bawah:

236 || 598 || 423 = 236 || 598 + 4 || 23 = 236 || 602 || 23

Selanjutnya proses diulangi lagi sbb:

236+6 || 02 || 23 = 242 || 02 || 23

Karena syarat bahwa "sebelah kanan pagar 2 harus terdapat 2 digit" sudah terpenuhi, maka jawaban sudah didapat.

242 || 02 || 23 = 2420223.
Selanjutnya, sifat yang sama juga berlaku untuk pagar3, pagar4, dan seterusnya..
Mudah bukan? Selanjutnya, kita akan membahas mengenai perkalian. ^^
=========================================================================


Di sini, setiap bilangan dipecah menjadi elemen satuan, puluhan, ratusan, dan sebagainya. Inilah yang membuat perkalian di metris menjadi lebih mudah. Di sini, akan diberikan berbagai rumus-rumus, namun sesungguhnya penurunannya sangat mudah.

PERKALIAN BILANGAN 2 DIGIT ab * cd

ab* cd = a*c | a*d + b* c | b*d

Bukti:
ab * cd = (a*10 + b)*(c*10+d)
______= (a*10 + b)*(c*10+d)
______= a*c*100 + a*d*10+b*c*10+b*d
______= a*c*100 + (a*d+b*c)*10+b*d
______= a*c | a*d + b* c | b*d
Contoh 1:
87*69 = ....

Jawab
87*69 = 8*6 | 8*9 + 7*6 | 7*9
______= 48 | 72 + 42 | 63
______= 48 | 114 | 63
______= 48 | 120 | 3 (ingatlah konsep pergeseran yang sudah dijelaskan sebelumnya!!)
______= 60 | 0 | 3
______= 6003

KUADRAT BILANGAN 2 DIGIT

ab^2 = a^2 | 2*a*b | b^2

Bukti: (seharunya kamu bisa membuktikannya)
Contoh 2:
98^2= ....

Jawab
98^2= 9^2 | 2*9*8 | 8^2
____= 81 | 144 | 64
____= 81 | 150 | 4
____= 96 | 0 | 4
____= 9604

KASUS PAGAR BOBOT 2, PAGAR BOBOT 3, DAN SETERUSNYA
Kita tahu bahwa (a|b)^2 = a^2 | 2*a*b | b^2. Kasus ini juga berlaku untuk pagar bobot 2, bobot 3, dan seterusnya.. Misalnya:
(a||bc)^2 = a^2 || 2*a*(bc) || (bc)^2
(a|||bcd)^2 = a^2 ||| 2*a*(bcd) ||| (bcd)^2

Bukti: (uraikan sendiri..)
Contoh 3:
507^2= ....

Jawab:
507^2= (5 || 7)^2
_____= 5^2 || 2*5*7 || 7^2
_____= 25 || 70 || 49
_____= 257049

Contoh 4:
9006^2 = ....

Jawab cara I:
9006^2 = (9 ||| 6 )^2
_______= 9^2 ||| 2*9*6 ||| 6^2
_______= 81 ||| 108 ||| 36
_______= 81108036

Jawab cara II:
9006^2 = (90 || 6 )^2
_______= 90^2 || 2*90*6 || 6^2
_______= 8100 || 1080 || 36
_______= 8110 || 80 || 36
_______= 81108036

Contoh 5:
498^2 = ....

Jawab:
498^2 = (4 || 98)^2
______= 4^2 || 2* 4 * 98 || 98 ^2
______= 4^2 || 2* 4 * 98 || 9604 (Kita sudah mendapatkan 98^2 sebelumnya)
______= 16 || 784 || 9604
______= 16 || 880 || 04
______= 24 || 80 || 04
______= 248004

Perhatikan bahwa kita dapat menyelesaikan kuadrat bilangan berdigit 3 dengan memecahnya menjadi 2 bagian terlebih dahulu.. Namun, ternyata perhitungan 2*4*98 dianggap cukup memakan waktu. 98^2 pun harus dihitung terlebih dahulu.. Adakah cara yang lain? Sabar.. Lihat lanjutannya di bawah.

PERKALIAN BILANGAN 3 DIGIT

abc* def = a*d | a*e + b*d | a*f + b*e + c*d | b*f + c*e | c*f

Bukti: (caranya seperti sebelumnya)

Contoh 6:
619*257 = ....

Jawab:
619*257 = 6*2 | 6*5 + 1*2 | 6*7 + 1*5 + 9*2 | 1*7 + 9*5 | 9*7
_______= 12 | 32 | 42 + 5 + 18| 52 | 63
_______= 12 | 32 | 65| 52 | 63
_______= 12 | 32 | 65| 52 | 63
_______= 12 | 32 | 65| 58 | 3
_______= 12 | 32 | 70 | 8 | 3
_______= 12 | 39 | 0 | 8 | 3
_______= 15 | 9 | 0 | 8 | 3
_______= 159083

KUADRAT BILANGAN 3 DIGIT

abc^2 = a^2 | 2*a*b | 2*a*c + b^2 | 2*b*c | c^2

Bukti: (You should know how...)
Contoh 7:
498^2 = .... (kali ini gunakan cara yangberbeda)

Jawab:
498^2 = 4^2 | 2*4*9 | 2*4*8 + 9^2 | 2*9*8 | 8^2
_____= 16 | 72 | 64 + 81 | 144 | 64
_____= 16 | 72 | 145 | 144 | 64
_____= 16 | 72 | 145 | 150 | 4
_____= 16 | 72 | 160 | 0 | 4
_____= 16 | 88 | 0 | 0 | 4
_____= 24 | 8 | 0 | 0 | 4
_____= 248004
Ternyata, dapat dikerjakan dengan jauh lebih mudah dan cepat...

PANGKAT TIGA

ab^3 = a^3 | 3*a^2*b | 3*a*b^2 | b^3

Bukti: (Masih ingatkah dengan segitiga Pascal dan binomial Newton?)

Contoh 8:
74^3 = ....

Jawab:
74^3 = 7^3 | 3* 7^2*4 | 3*7*4^2 | 4^3
____= 343 | 588 | 336 | 64
____= 343 | 588 | 342 | 4
____= 343 | 622 | 2 | 4
____= 405 | 2 | 2 | 4
____= 405224
Perhitungan awal memang cukup rumit... Namun, bandingkan, lebih rumit mana antara cara metris dengan cara yang biasanya kalian lakukan..!!

PANGKAT EMPAT, LIMA, DAN SETERUSNYA

ab^4 = a^4 | 4*a^3*b | 6*a^2*b^2 | 4*a*b^3 | b^4
ab^5 = a^5 | 5*a^4*b | 10*a^3*b^2 | 10*a^2*b^3 | 5*a*b^4 | b^5
dan seterusnya.....

Bukti: (Masih ingatkah dengan segitiga Pascal dan binomial Newton? Perlukah diingatkan kembali?)
Contoh 9:
26^4 = ....

Jawab:
26^4 = 2^4 | 4*2^3*6| 6*2^2*6^2 | 4*2*6^3 | 6^4
____= 16 | 192 | 864 | 1728 | 1296
____= 16 | 192 | 864 | 1857 | 6
____= 16 | 192 | 1049 | 7 | 6
____= 16 | 296 | 9 | 7 | 6
____= 45 | 6 | 9 | 7 | 6
____= 456976

Meskipun awalnya sedikit rumit, namun cara metrislah yang paling efektif dalam menghitung pangkat.. Bandingkan jika kalian mengalikan 26 sebanyak 4 kali... Bisa tewas... T_T
=========================================================================

Sesungguhnya, ada banyak sekali hal-hal yang menarik untuk dipelajari mengenai metris. Ada banyak cara cepat lainnya. Misalkan: (a|5)^2 = (a*(a+1))|| 25. Contohnya: 85^2 = (8*9)|25 = 7225. Rumus ini sendiri sesungguhnya dapat kalian turunkan sendiri.. Namun, kalau sengaja dihapal, sebaiknya jangan... Yah, kecuali kalau kalian tidak sengaja menghapalnya.. Hahaha..

Metris memang metode yang cukup ampuh.. Jika dikombinasikan dengan metode vertikal, maka kalian bisa menghitung dengan optimal.

Untuk mempelajari metris lebih jauh, silakan pergi ke toko buku terdekat (Gramedia, etc).. Ada banyak sekali seri metris yang ditulis oleh Ivan Goenawan...

Jangan sampai kehabisan... Hahaha.. (Koq jadi promosi.. ) :P.

Sumber:
Koran kompas (18 Juni 2009)
http://sigmetris.com

27 comments:

  1. bagus pak...sy coba cari bukunya

    ReplyDelete
  2. mau donk bukunya . bagus
    kok cari di gramed gk ada ?
    klo mo pesen gmn ?

    ReplyDelete
  3. Kyknya bisa pesen di sini: http://sigmetris.com.. :)

    ReplyDelete
  4. aku tadi ke gramedia tapi gak ada ini gmn?

    ReplyDelete
  5. Klo di gramed cari pake komputer nama pengarangnya Aa SIG tapi emang bisa juga dipesen di http://sigmetris.com

    ReplyDelete
  6. Sorry, Sir ato ko hendry_dext (hehe... bingung saya mau gimana manggilnya). Begini saya ada pertanyaan dikit mengenai paragraf di bagian "CLOSING" yang benar yang mana ya : (a|5)^2 = (a*(a-1))|| 25 ato (a|5)^2 = (a*(a+1))|| 25 (bagian a*(a-1)).
    Thanks. I like your blog and your sharing.
    Salam kenal dari cheer_champagne@yahoo.com.

    ReplyDelete
  7. Iya.. Terima kasi atas koreksinya.. Itu salah nulis. :P

    ReplyDelete
  8. hehe... sorry again tapi kayaknya belum terkoreksi sir.
    Thanks.
    (Saya masih ada tambah 1 di soal mengenai bab LCM tolong dibantu. Thanks.)

    ReplyDelete
  9. Oh.. Belom ya.. swt... Huix huix...
    Hohohoho

    ReplyDelete
  10. Pak sepertinya perlu diralat kalau perkalian horizontal hemat kertas, soalnya malah boros kertas

    ReplyDelete
  11. @atas: Wah. Iya juga. Ternyata juga boros kertas. Haha.

    ReplyDelete
  12. maaf, klo tuk siswa SD kasian tuh ..bikin pucing.
    kayaknya saya pernah liat da yg lebih cepat cara menghitung kuadrat ma pangkat 3. kayaknya demo dari Primagama klo da salah....

    ReplyDelete
  13. Ga juga ah, dah ku coba lebih efisien ini karena bilangan yang mo dipangkatkan boleh sembarang & ternyata hemat kertas lagii.. good dehh metriss..mantapp

    ReplyDelete
  14. Apakah kalau perkalian 4 digit dan 3 dgit masih berlaku?Berikan rumus dan contohnya. Terima kasih.

    ReplyDelete
  15. so helpful sir...

    ReplyDelete
  16. Bagus, ternyata kalo udah ngerti metris emang lebih cepat. Awalnya pusing juga euy...

    ReplyDelete
  17. klu bljr metris pasti pinter heheheheheheh

    ReplyDelete
  18. 12890900 dapat ditulis menjadi 128 | 9 ||| 9 || karena
    12890900 = (((128*10+9)*1000)+9)*100
    Akan tetapi, sebaiknya ditulis menjadi 128 | 9 ||| 900 untuk mencegah kebingungan.. Artinya, di sebelah tanda pagar harus terdapat angka.



    Kyknya ini ada kesalahan deh.... Bukan harusny 128|9||||900 atau 128|9||9||?

    ReplyDelete
    Replies
    1. bner tuhh,,jd bingung,,
      tp kok bs jd 128|9||9||?????

      Delete
  19. maaf sebelumx ap in udah ad software untung menghitungnyx blm?????tolong di jawab

    ReplyDelete
  20. buka milist dong,,
    biar gampang kalo mau tanya-tanya,,,

    ReplyDelete
  21. Sangat Berharga Dari pada beli mainan lebih baik beli bukunya kak Stephanus Ivan Goenawan

    ReplyDelete
  22. Milis METRIS sudah ada koq, coba masuk via www.sigmetris.com
    jangan lupa ikutan Olimpiade-nya yukk Edutainment banget lohh

    ReplyDelete
  23. Bagus nih, metode simetris.. supaya belajar matematika lebih mudah di pahami, terutama buat anak-anak SD yang harus menguasai hitungan dasar yang mantap.

    ReplyDelete