Melanjuti topik yang sebelumnya, keterbagian, kali ini topik yang dibahas adalah modulo. Teori modulo (Latin) diperkenalkan oleh seorang matematikawan bernama Carl Friedrich Gauss tahun 1801 dalam bukunya yang berjudul “Disquisitiones Arithmaticae”.
_____Modulo mempelajari sisa hasil bagi (reminder). Misalnya: berapakah sisa 100 dibagi 9? Dan, jawabnya adalah 1. Di sini, kita dapat menuliskannya menjadi: 100 mod 9 = 1 atau mod (100,9) = 1. Sebagai pengetahuan pula, 100 di sini dikatakan sebagai dividend, sedangkan 9 adalah divisor. Seringkali dalam bahasa pemrograman, mod dituliskan dalam simbol lain seperti % (dalam bahasa C).
_____Nah, pengantarnya sudah selesai. Sekarang kita akan memasuki babak yang sangat seru dengan berbagai contoh soal yang menarik. Ayo kita sikat..!!
======================================================================
Kaidah 1: Kaidah dasar modulo yang totally gampang
Soal 1: Berapakah sisa 4 dibagi 5? Jawab: 4 mod 5 = 4
Soal 2: Berapakah sisa 99 dibagi 13? Jawab: 99 mod 13 = (7*13+8)mod 13 = 8 mod 13 = 8
Soal 3: Berapakah sisa 100 dibagi 34?
Jawab: 100 mod 34 = ((3*34)-2)mod 34 = -2 mod 34 =((-1)*34+32)mod 34 = 32 mod 34= 32
Kaidah 2: Penjumlahan / Pengurangan merupakan Linearitas modulo
(a+b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n
Soal 4 : Berapakah sisa (8+15+22) dibagi 7?
Jawab: (8+15+22) mod 7 =(8 mod 7 + 15 mod 7 + 22 mod 7) mod 7= (1+1+1) mod 7
_____= 3 mod 7 = 3
Jawab :(1992+1993+1994+…+1999)mod 2000 = (-8-7-6-5-4-3-2-1) mod 2000
______=
Kaidah 3: Lagi-lagi, Perkalian juga linearitas modulo.
(a*b) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n
Bukti:
(a*b) mod n = ((pn + c)*(qn + d))mod n = (pqn2 +dpn+cqn+cd)mod n = cd mod n.
(Note: p dan q adalah bil. bulat)
Soal 6: Berapakah sisa (4*6) dibagi 5?
Jawab: (4*6) mod 5 = ((4 mod 5)*(6 mod 5)) mod 5 = (4*1) mod 5 = 4 mod 5 = 4
Soal 7: Berapakah digit terakhir dari (1996*1997*1998*1999)?
(Hint: mengenai digit terakhir, artinya sama dengan “berapakah sisanya jika dibagi 10”)
Jawab: (1996*1997*1998*1999) mod 10 = (6*7*8*9) mod 10 =(42*72) mod 10 =(2*2)mod 10 = 4
Jawab: 31000 mod 4 = ((1*4-1)1000)) mod 4 = 1 mod 4 =1
Soal 9:Berapakah sisa jika 32009 jika dibagi 41?
Jawab: (32009) mod 41 = (91004*3) mod 41 = (81502*3) mod 41 = ((41*2-1)502*3)mod 41
______= ((-1)502*3)mod 41 = (1*3)mod 41 = 3 mod 41 = 3
Soal 10: Apakah 5454 + 5555 + 5656 habis dibagi 7?
(Hint: jika menggunakan modulo, cek apakah sisanya 0 atau bukan)
Jawab: (5454+5555+5656)mod 7
_____= (5454mod 7+ 5555 mod 7+ 5656 mod 7)mod 7
_____= ((7*7+5)54mod 7+ (8*7-1)55 mod 7+ (8*7+0)56 mod 7)mod 7
_____= (554mod 7+ (-1)55 mod 7+ 0 mod 7)mod 7
_____= (554mod 7+ 6)mod 7
_____= (2527mod 7+ 6)mod 7
_____= ((3*7+4)27mod 7+ 6)mod 7
_____= ((4)3*9mod 7+ 6)mod 7
_____= ((64)9mod 7+ 6)mod 7
_____= ((7*9+1)9mod 7+ 6)mod 7
_____= (19mod 7+ 6)mod 7
_____= 7 mod 7
_____= 0 ____________Karena, sisanya 0, maka dapat habis dibagi 7.
(Thx for ac for the correction.. ^^)
======================================================================
Notasi yang kita gunakan di sini adalah notasi "=". Untuk selanjutnya, kita akan sering menemui bentuk seperti ini:
Contoh:
Bentuk yang lebih dipakai adalah karena bersifat umum dan internasional.
======================================================================
Jika kita sudah menemukan bentuk , kita dapat mengolahnya dengan penjumlahan, pengurangan, perkalian, ataupun pembagian terhadap kedua ruas..
Penjumlahan Kedua Ruas:
Pengurangan Kedua Ruas:
(sama seperti penjumlahan)
Dapat dicek bahwa pernyataan terakhir adalah Benar, karena 8 = 3 x 3 -1.
Perkalian Kedua Ruas:
Pembagian Kedua Ruas:
Jika kedua ruas dibagi dengan d, maka hasilnya adalah:
Bukti:
Karena dan koprima, maka .
Akibatnya:
TERBUKTI.
Contoh 1:
Contoh 2:
======================================================================
Modulo. Simple and easy..!! Sangat mudah tapi sering terlewatkan…
Ada yang ingin ditanyakan.?
menarik emamg boleh yah klo perkalian diambil belakangnya trus baru dikalikan yah maksud wa yang ini (1998*1999)MOD10... isa yah jadi kosnep nya kan 1998mod10*1999mod 10= (9*8)mod10=72mod 10... berarti nila kahirnya 2 dong... klo dikali langusng hasilnya sama yah....males ngitungnya thx
ReplyDelete@cozu
ReplyDeleteIyy. betul-betul ^_^..
Tuh udah ngerti..
(Horeee, ada yang ngertiiii XD)
eh mas,nanya donk..klo misalnya 1998 mod 2000 itu hasilnya -2 ya?
ReplyDeletetrus kalo 3 mod 5 itu hasilnya 3 ato -2?
trus kapan kita bisa nentuin hasil mod itu musti pake +3 ato -2???
mas mau nanya
ReplyDeletekok 25^27 = (4*7+1)^27???
aneh y???
Mas mase ado soal yg lain nga???
tapi di kasi kunci
wkakakkakak
Maapp.. Itu ada salah nulis.. Udah lama banget yah posting beginian. Gak sempet dicek. Hohoho.
ReplyDeleteNanti aku betulin..
Ada sih soal lain. Mungkin dipost di tempat lainnya..
makasih... terus nulis ya... lumayan membantu banget...
ReplyDeletemas ada posting yang lain ga?
ReplyDeletelumayan buat nambah2 referensi.......
wakakakakakakakakakakakak
mau nanya, kenapa 43^43^43( pangkatnya berulang, bukan (43^43)^43 )dibagi 100 sisanya 7?
ReplyDeletereferensinya apa nih, mas? butuh banget nih
ReplyDeleteterima kasih
Terima kasih pak, penjelasannya cukup simple dan mudah dipahami. Cocok buat siswa saya.
ReplyDeletemlh g faham2
ReplyDeletemau nanya kenapa [pada soal no 10, kok muncul angka 6 ?
ReplyDelete(5^54 mod 7 + (-1)^55 mod 7 + 0 mod 7) mod 7
Delete= 25^27 mod 7 + (-1 + 7) mod 7
= 25^27 mod 7 6
(...)
benarkah?
0 mod 7 hasilnya 0 atau 7 ya?
DeleteAssalamu'alaikum.Wr.Wb.
ReplyDeleteSaya mau tanya dong, 2^2011 mod 1000 brp ya? Tlg jelasin serta contohnya! Tks :)
Easy
ReplyDeletedari dulu blog ini selalu menjadi blog favorit saya. mampir ke blog saya juga ya gan, lagi belajar. m4th-lab.blogspot.com
ReplyDeleteBoleh minta referensi bukunya dari mana ?
ReplyDeletemau nanya semisal (a+b) mod c = d kemudiah hanya diketahui c dan d apa bisa menemukan a dan b ??
ReplyDeletemakasih sudah share
ReplyDeleteflux pasta