What's the content of this blog

Composition: Mathematics, my favourite lesson 90%. Mathematics Software 3%, My Life and Experience 3%, and Others 4%..
-- Here we can share knowledge --
-- Enjoy --

Wednesday, August 13, 2008

Modulo

Melanjuti topik yang sebelumnya, keterbagian, kali ini topik yang dibahas adalah modulo. Teori modulo (Latin) diperkenalkan oleh seorang matematikawan bernama Carl Friedrich Gauss tahun 1801 dalam bukunya yang berjudul Disquisitiones Arithmaticae”.


_____Modulo mempelajari sisa hasil bagi (reminder). Misalnya: berapakah sisa 100 dibagi 9? Dan, jawabnya adalah 1. Di sini, kita dapat menuliskannya menjadi: 100 mod 9 = 1 atau mod (100,9) = 1. Sebagai pengetahuan pula, 100 di sini dikatakan sebagai dividend, sedangkan 9 adalah divisor. Seringkali dalam bahasa pemrograman, mod dituliskan dalam simbol lain seperti % (dalam bahasa C).

_____Ada istilah “kongruen modulo”. Apa itu? Itu jika sisanya sama. Misalnya: 100 mod 9 = 1 dan 91 mod 9 = 1, maka dapat dikatakan bahwa 100 dan 91 itu kongruen modulo 9.

_____Nah, pengantarnya sudah selesai. Sekarang kita akan memasuki babak yang sangat seru dengan berbagai contoh soal yang menarik. Ayo kita sikat..!!

======================================================================
Kaidah 1: Kaidah dasar modulo yang totally gampang

a mod n = (b*n + c) mod n = c mod n , dimana b adalah bil. bulat

Soal 1: Berapakah sisa 4 dibagi 5? Jawab: 4 mod 5 = 4
Soal 2: Berapakah sisa 99 dibagi 13? Jawab: 99 mod 13 = (7*13+8)mod 13 = 8 mod 13 = 8
Soal 3: Berapakah sisa 100 dibagi 34?
Jawab: 100 mod 34 = ((3*34)-2)mod 34 = -2 mod 34 =((-1)*34+32)mod 34 = 32 mod 34= 32

Kaidah 2: Penjumlahan / Pengurangan merupakan Linearitas modulo

(a+b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n

Soal 4 : Berapakah sisa (8+15+22) dibagi 7?
Jawab: (8+15+22) mod 7 =(8 mod 7 + 15 mod 7 + 22 mod 7) mod 7= (1+1+1) mod 7
_____= 3 mod 7 = 3

Soal 5 : Berapakah sisa (1992+1993+1994+…+ 1999) dibagi 2000?
Jawab :(1992+1993+1994+…+1999)mod 2000 = (-8-7-6-5-4-3-2-1) mod 2000
______= (-36)mod 2000 = (( -1)*2000+1964)mod 2000 = 1964 mod 2000 = 1964

Kaidah 3: Lagi-lagi, Perkalian juga linearitas modulo.

(a*b) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n

Bukti:
(a*b) mod n = ((pn + c)*(qn + d))mod n = (pqn2 +dpn+cqn+cd)mod n = cd mod n. Karena c= a mod n dan d = b mod n, maka rumus di atas terbukti.
(Note: p dan q adalah bil. bulat)

Soal 6: Berapakah sisa (4*6) dibagi 5?
Jawab: (4*6) mod 5 = ((4 mod 5)*(6 mod 5)) mod 5 = (4*1) mod 5 = 4 mod 5 = 4

Soal 7: Berapakah digit terakhir dari (1996*1997*1998*1999)?
(Hint: mengenai digit terakhir, artinya sama dengan “berapakah sisanya jika dibagi 10”)
Jawab: (1996*1997*1998*1999) mod 10 = (6*7*8*9) mod 10 =(42*72) mod 10 =(2*2)mod 10 = 4

Kaidah 4: Modulo Bentuk Pangkat. Ini sama Saja Dengan Perkalian.!!

ab mod n = ((a mod n)b)mod n , b adalah bil.bulat

Soal 8: Berapakah sisa 31000 dibagi 4?
Jawab: 31000 mod 4 = ((1*4-1)1000)) mod 4 = 1 mod 4 =1

Soal 9:Berapakah sisa jika 32009 jika dibagi 41?
Jawab: (32009) mod 41 = (91004*3) mod 41 = (81502*3) mod 41 = ((41*2-1)502*3)mod 41
______= ((-1)502*3)mod 41 = (1*3)mod 41 = 3 mod 41 = 3

Soal 10: Apakah 5454 + 5555 + 5656 habis dibagi 7?
(Hint: jika menggunakan modulo, cek apakah sisanya 0 atau bukan)

Jawab: (5454+5555+5656)mod 7
_____= (5454mod 7+ 5555 mod 7+ 5656 mod 7)mod 7
_____= ((7*7+5)54mod 7+ (8*7-1)55 mod 7+ (8*7+0)56 mod 7)mod 7
_____= (554mod 7+ (-1)55 mod 7+ 0 mod 7)mod 7
_____= (554mod 7+ 6)mod 7
_____= (2527mod 7+ 6)mod 7
_____= ((3*7+4)27mod 7+ 6)mod 7
_____= ((4)3*9mod 7+ 6)mod 7
_____= ((64)9mod 7+ 6)mod 7
_____= ((7*9+1)9mod 7+ 6)mod 7
_____= (19mod 7+ 6)mod 7
_____= 7 mod 7
_____= 0 ____________Karena, sisanya 0, maka dapat habis dibagi 7.
(Thx for ac for the correction.. ^^)

Penyelesaian modulo dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Misalnya no.8, dapat dijawab dengan cara lain: 31000 mod 4 = 9500 mod 4 = (2*4+1)500 mod 4 = 1500 mod 4 = 1 mod 4 = 1.

======================================================================
Bentuk Lain

Notasi yang kita gunakan di sini adalah notasi "=". Untuk selanjutnya, kita akan sering menemui bentuk seperti ini:


Contoh:

yang artinya akan sama seperti bentuk yang kita pelajari sebelumnya, yaitu:


Bentuk yang lebih dipakai adalah karena bersifat umum dan internasional.
======================================================================
Operasi-Operasi Terhadap Kongruensi Modulo pada Kedua Ruas

Jika kita sudah menemukan bentuk , kita dapat mengolahnya dengan penjumlahan, pengurangan, perkalian, ataupun pembagian terhadap kedua ruas..

Penjumlahan Kedua Ruas:

Jika kedua ruas ditambah dengan d,maka hasilnya adalah:

Contoh:

Kedua ruas ditambah 4, hasilnya:

Dapat dicek bahwa pernyataan terakhir adalah Benar, karena 14 = 3 x 3 + 5.


Pengurangan Kedua Ruas:
(sama seperti penjumlahan)


Jika kedua ruas dikurang dengan d,maka hasilnya adalah:

Contoh:

Kedua ruas dikurang 2, maka hasilnya:
Dapat dicek bahwa pernyataan terakhir adalah Benar, karena 8 = 3 x 3 -1.


Perkalian Kedua Ruas:

Jika kedua ruas dikali dengan d, maka hasilnya adalah:

Contoh:

Kalikan 2, hasilnya:



Pembagian Kedua Ruas:
Jika kedua ruas dibagi dengan d, maka hasilnya adalah:


Bukti:





Kita tahu bahwa jika , maka atau .
Karena dan koprima, maka .
Akibatnya:



TERBUKTI.


Contoh 1:

Bagi kedua ruas dengan 5:





Contoh 2:


Bagi kedua ruas dengan 2:




======================================================================
Modulo. Simple and easy..!! Sangat mudah tapi sering terlewatkan…
Ada yang ingin ditanyakan.?
mrgreen

17 comments:

  1. menarik emamg boleh yah klo perkalian diambil belakangnya trus baru dikalikan yah maksud wa yang ini (1998*1999)MOD10... isa yah jadi kosnep nya kan 1998mod10*1999mod 10= (9*8)mod10=72mod 10... berarti nila kahirnya 2 dong... klo dikali langusng hasilnya sama yah....males ngitungnya thx

    ReplyDelete
  2. @cozu
    Iyy. betul-betul ^_^..
    Tuh udah ngerti..

    (Horeee, ada yang ngertiiii XD)

    ReplyDelete
  3. eh mas,nanya donk..klo misalnya 1998 mod 2000 itu hasilnya -2 ya?
    trus kalo 3 mod 5 itu hasilnya 3 ato -2?
    trus kapan kita bisa nentuin hasil mod itu musti pake +3 ato -2???

    ReplyDelete
  4. mas mau nanya
    kok 25^27 = (4*7+1)^27???
    aneh y???

    Mas mase ado soal yg lain nga???
    tapi di kasi kunci
    wkakakkakak

    ReplyDelete
  5. Maapp.. Itu ada salah nulis.. Udah lama banget yah posting beginian. Gak sempet dicek. Hohoho.
    Nanti aku betulin..

    Ada sih soal lain. Mungkin dipost di tempat lainnya..

    ReplyDelete
  6. makasih... terus nulis ya... lumayan membantu banget...

    ReplyDelete
  7. mas ada posting yang lain ga?
    lumayan buat nambah2 referensi.......
    wakakakakakakakakakakakak

    ReplyDelete
  8. mau nanya, kenapa 43^43^43( pangkatnya berulang, bukan (43^43)^43 )dibagi 100 sisanya 7?

    ReplyDelete
  9. referensinya apa nih, mas? butuh banget nih
    terima kasih

    ReplyDelete
  10. Terima kasih pak, penjelasannya cukup simple dan mudah dipahami. Cocok buat siswa saya.

    ReplyDelete
  11. mau nanya kenapa [pada soal no 10, kok muncul angka 6 ?

    ReplyDelete
    Replies
    1. (5^54 mod 7 + (-1)^55 mod 7 + 0 mod 7) mod 7
      = 25^27 mod 7 + (-1 + 7) mod 7
      = 25^27 mod 7 6
      (...)
      benarkah?

      Delete
  12. Assalamu'alaikum.Wr.Wb.
    Saya mau tanya dong, 2^2011 mod 1000 brp ya? Tlg jelasin serta contohnya! Tks :)

    ReplyDelete
  13. dari dulu blog ini selalu menjadi blog favorit saya. mampir ke blog saya juga ya gan, lagi belajar. m4th-lab.blogspot.com

    ReplyDelete
  14. Boleh minta referensi bukunya dari mana ?

    ReplyDelete