What's the content of this blog

Composition: Mathematics, my favourite lesson 90%. Mathematics Software 3%, My Life and Experience 3%, and Others 4%..
-- Here we can share knowledge --
-- Enjoy --

Friday, August 22, 2008

AM-GM-HM.. Apa itu.??

AM-GM-HM sering banget digunakan di soal ekuivalensi, misalnya:

Buktikan bahwa , u/ semua bilangan x positif..
Wah, nyesel deh kalo ga tau soal kayak gini.. Soalnya ini tuh guampang bangeettttzzzz.. Check it out..biggrin


=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Definisi Istilah:
AM (Aritmatik Mean) yaitu rataan aritmatik. Mis:

GM (Geometric Mean) yaitu rataan geometri. Mis:
HM (Harmonik Mean) yaitu rataan harmonik. Mis:

Nah, secara umum AM GM HM

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Pembuktian rumus:
Pertama, gunakan 2 varibel dulu, yaitu a dan b..
Kita coba buktikan rumus: AM GM dulu...

Pandang
__ ______(ini berlaku karena setiap bilangan kuadrat selalu positif)
__
__
__ ________, Terbukti rumus AM GM u/ 2 variabel

Bukti Rumus GM HM:
______ bagi kedua ruas dengan ab
______pindah ruas
______, Terbukti rumus GM HM u/ 2 variabel

Dari bagian pertama dan kedua, maka didapat:


AM GM HM

Nah, untuk pembuktian dengan banyak variabel, bisa menggunakan konsep yang 2 variabel:
x. Untuk yang 4 variabel, ubahlah bentuk menjadi . Gunakan lagi prinsip . Setelah itu, kedua ruas pangkatkan dengan 4, maka bukti u/ 4 varibel didapatkan.

x. Untuk yang 3 variabel, ubahlah bentuk menjadi . Gunakan konsep yang sebelumnya (4 varibel).. Maka, lagi-lagi, bukti untuk 3 variabel didapatkan... Piece of Cake!!

x. Untuk banyak variabel selanjutnya, gunakan konsep yang sudah ada sebelumnya..mrgreen

Maka terbentuklah rumus AM-GM-HM yang seperti berikut:
\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1 a_2  ... a_n}\ge \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Contoh Soal 1:
Buktikan bahwa , u/ semua bilangan x positif..

Jawab:
(i) Gunakan cara biasa (dari dasar)
__
__
__, terbukti
(ii)Cara AM-GM (langsung dari rumus)
__
__
__, terbukti

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Contoh Soal 2:
Untuk p,q,r>0 dan p+q+r=1, buktikan bahwa \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\ge 9
Jawab:
____AM\ge HM
____\frac{p+q+r}{3}\ge \frac{3}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}}
____\frac{1}{3}\ge \frac{3}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}}
____\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\ge 9 , terbukti..

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Contoh Soal 3:
Jika a,b,c, dan d adalah bilangan Real positif, tunjukkan bahwa: \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\ge 4
Jawab:
____AM \geGM
____\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}}{4}\ge \sqrt[4]{\frac{a}{b}\frac{b}{c}\frac{c}{d}\frac{d}{a}}
____\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}}{4}\ge 1
____\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\ge 4 , Terbukti

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Well, sampai di sini pembahasan tentang AM-GM-HM.. Contoh-contoh soal dari guampang ke suliitt akan dipost secepatnya yang aku bisa.. ^_^..
Ada pertanyaan.??

6 comments:

  1. Wah..ada materi begituan ya?koq rasanya waktu smp ato sma saya gak pernah belajar ya?ck3..tapi syukur ada blog ini,saya jadi tau deh ada materi beginian..btw ini materi kelas berapa sih???

    ReplyDelete
  2. tuk pembuktian GM>=HM
    tu akar ab di bagi ab xok bsa jadi 1/akar ab tu bgaimana???

    ReplyDelete
  3. nice ! :) very clear and easy to b uank understood.. thank u..

    ReplyDelete
  4. Wah,, baru liat nih postnya,, thx untuk ilmunya gan ^^)

    @Durrotul Humairoh : ntu kan awalnya akar(ab), trus dibagi ab, kan skrg jadi : akar(ab)per(ab),, nah kan (ab) bisa ditulis akar(ab)*akar(ab),, nah skrg persamaannya jadinya : akar(ab)per(akar(ab)*akar(ab))... trus kan akar(ab)per(akar(ab)) bisa ditulis 1,, tinggal sisa 1/akar(ab) deh.... hhehe

    ReplyDelete
  5. guru smp & sma punya bukunya, gratis dari depdikbud, 2 jilid karangan orang itb

    ReplyDelete
  6. Martha Rizky AdityaJuly 11, 2011 at 10:51 PM

    pembuktiaannya ada banyak, bisa diliat di Wono Setyo Budi, recommended buat yg br belajar

    ReplyDelete