Everything About Math: AM-GM-HM.. Apa itu.??

AM-GM-HM sering banget digunakan di soal ekuivalensi, misalnya:

Buktikan bahwa $x+\frac{1}{x}\ge 2$ , u/ semua bilangan x positif..

Wah, nyesel deh kalo ga tau soal kayak gini.. Soalnya ini tuh guampang bangeettttzzzz.. Check it out..

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Definisi Istilah:
AM (Aritmatik Mean) yaitu rataan aritmatik. Mis: $\frac{1+2+4+5}{4}$

GM (Geometric Mean) yaitu rataan geometri. Mis: $\sqrt[4]{1.2.4.5}$
HM (Harmonik Mean) yaitu rataan harmonik. Mis: $\frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}}$

Nah, secara umum AM $\ge$ GM $\ge$ HM

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Pembuktian rumus:
Pertama, gunakan 2 varibel dulu, yaitu a dan b..
Kita coba buktikan rumus: AM $\ge$ GM dulu...

Pandang
__ $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$ ______(ini berlaku karena setiap bilangan kuadrat selalu positif)
__ $a+b-2$ $\sqrt{ab} \ge 0$
__ $a+b\ge 2\sqrt{ab}$
__ $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ ________, Terbukti rumus AM $\ge$ GM u/ 2 variabel

Bukti Rumus GM $\ge$ HM:
__ $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ ____ bagi kedua ruas dengan ab
__ $\frac{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}{2}\ge \frac{1}{\sqrt{ab}}$ ____pindah ruas
__ $\sqrt{ab}\ge \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$ ____, Terbukti rumus GM $\ge$ HM u/ 2 variabel

Dari bagian pertama dan kedua, maka didapat:

$\frac{a+b}{2}\ge sqrt{ab} \ge \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$

AM $\ge$ GM $\ge$ HM

Nah, untuk pembuktian dengan banyak variabel, bisa menggunakan konsep yang 2 variabel:
x. Untuk yang 4 variabel, ubahlah bentuk $\frac{a+b+c+d}{4}$ menjadi $\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}}{2}$ $\ge$ $\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}{2}$ . Gunakan lagi prinsip $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ . Setelah itu, kedua ruas pangkatkan dengan 4, maka bukti u/ 4 varibel didapatkan.

x. Untuk yang 3 variabel, ubahlah bentuk $\frac{a+b+c}{3}$ menjadi $\frac{a+b+c+\frac{a+b+c}{3}}{4}$ . Gunakan konsep yang sebelumnya (4 varibel).. Maka, lagi-lagi, bukti untuk 3 variabel didapatkan... Piece of Cake!!

x. Untuk banyak variabel selanjutnya, gunakan konsep yang sudah ada sebelumnya..

Maka terbentuklah rumus AM-GM-HM yang seperti berikut:

$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}\ge \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}$

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Contoh Soal 1:
Buktikan bahwa $x+\frac{1}{x}\ge 2$ , u/ semua bilangan x positif..

Jawab:
(i) Gunakan cara biasa (dari dasar)
__ $(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^2 \ge 0$
__ $x-2+\frac{1}{x}\ge 0$

__ $x+\frac{1}{x}\ge 2$ , terbukti
(ii)Cara AM-GM (langsung dari rumus)
__ $\frac{x+\frac{1}{x}}{2}\ge \sqrt{x.\frac{1}{x}}$
__ $\frac{x+\frac{1}{x}}{2}\ge 1$
__ $x+\frac{1}{x}\ge 2$ , terbukti

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Contoh Soal 2:
Untuk p,q,r>0 dan p+q+r=1, buktikan bahwa $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\ge 9$
Jawab:
____AM $\ge$ HM
____ $\frac{p+q+r}{3}\ge \frac{3}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}}$
____ $\frac{1}{3}\ge \frac{3}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}}$
____ $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}\ge 9$ , terbukti..

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Contoh Soal 3:
Jika a,b,c, dan d adalah bilangan Real positif, tunjukkan bahwa: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\ge 4$
Jawab:
____AM $\ge$ GM
____ $\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}}{4}\ge \sqrt[4]{\frac{a}{b}\frac{b}{c}\frac{c}{d}\frac{d}{a}}$
____ $\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}}{4}\ge 1$
____ $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\ge 4$ , Terbukti

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Well, sampai di sini pembahasan tentang AM-GM-HM.. Contoh-contoh soal dari guampang ke suliitt akan dipost secepatnya yang aku bisa.. ^_^..

Ada pertanyaan.??

7 comments:

AnonymousDecember 10, 2008 at 10:40 PM
Wah..ada materi begituan ya?koq rasanya waktu smp ato sma saya gak pernah belajar ya?ck3..tapi syukur ada blog ini,saya jadi tau deh ada materi beginian..btw ini materi kelas berapa sih???
UnknownJuly 16, 2010 at 12:22 PM
tuk pembuktian GM>=HM
tu akar ab di bagi ab xok bsa jadi 1/akar ab tu bgaimana???
AnonymousJuly 30, 2010 at 10:07 PM
nice ! :) very clear and easy to b uank understood.. thank u..
imanuelnugrohoApril 30, 2011 at 10:03 PM
Wah,, baru liat nih postnya,, thx untuk ilmunya gan ^^)

@Durrotul Humairoh : ntu kan awalnya akar(ab), trus dibagi ab, kan skrg jadi : akar(ab)per(ab),, nah kan (ab) bisa ditulis akar(ab)*akar(ab),, nah skrg persamaannya jadinya : akar(ab)per(akar(ab)*akar(ab))... trus kan akar(ab)per(akar(ab)) bisa ditulis 1,, tinggal sisa 1/akar(ab) deh.... hhehe
AnonymousMay 14, 2011 at 5:54 PM
guru smp & sma punya bukunya, gratis dari depdikbud, 2 jilid karangan orang itb
Martha Rizky AdityaJuly 11, 2011 at 10:51 PM
pembuktiaannya ada banyak, bisa diliat di Wono Setyo Budi, recommended buat yg br belajar
JarvisMarch 19, 2020 at 10:58 PM
gambarnya kok gak bisa dibuka ya kak?

Friday, August 22, 2008

AM-GM-HM.. Apa itu.??

7 comments:

Categories

Blog Archieve