Tuesday, August 26, 2008

Bukti: Rumus penjumlahan Sinus dan Cosinus

Posted by hendry_dext

Prove: sin (a+b)= sin a cos b+cos a sin b
Banyak yang menanyakan dari mana rumus paling mendasar dari trigonometri di bawah ini ini berasal.

sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta + cos \alpha sin\beta
cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta- sin\alpha sin\beta
Nah, ayo kita simak bukti guampangnya....
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Pertama, buat gambar seperti di bawah...
Gambarnya dibuat sedemikian rupa sehingga \angle RPQ = \alpha... Jadi, jangan nanya lagi mengapa \angle RPQ itu sama dengan \alpha, karena itu disengaja...

Perhatikan step by step berikut (perhatikan dari gambar juga)
sin(\alpha+\beta) = \frac{PB}{OP}
_______= \frac{PR+RB}{OP}
_______= \frac{PR+QA}{OP}
_______= \frac{PQ cos \alpha+OQ sin\alpha}{OP}
__________(Nah, sebelum melanjutkan, perhatikan pula \angle OQP pasti siku-siku.. Alasannya:
_________\angle PQR = \angle OQA (karena \triangleOQA sebangun dengan \trianglePQR)
_________\angle OQR= \angle QOA (karena dalam berseberangan)
_________\angle OQP= \angle OQR + \angle PQR = \angle OQA+ \angle QOA = 900)
_______= \frac{OP sin \beta cos \alpha+OP cos \beta sin\alpha}{OP}
_______= sin \beta cos \alpha+ cos \beta sin\alpha
Terbukti

Bukti untuk yang cos juga memakai gambar yang sama:
cos(\alpha+\beta) = \frac{OB}{OP}
_______= \frac{OA-BA}{OP}
_______= \frac{OA-RQ}{OP}
_______= \frac{OQ cos\alpha-PQ sin\alpha}{OP}
_______= \frac{OP cos\beta cos\alpha-OP sin \beta sin\alpha}{OP}
_______= cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin \beta

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Untuk mendapatkan rumus pengurangan sebenarnya menggunakan konsep yang sama.. Gampangnya, pada rumus yang sudah didapat di atas, tinggal mengganti \beta menjadi (-\beta)

Well... Gitchuu aja nehhh..
Ada yang mo nanya..??

3 comments:

Subscribe to: Post Comments (Atom)