What's the content of this blog

Composition: Mathematics, my favourite lesson 90%. Mathematics Software 3%, My Life and Experience 3%, and Others 4%..
-- Here we can share knowledge --
-- Enjoy --

Thursday, October 2, 2008

Garis-Garis Istimewa Segitiga...(i)

Huaammmm.... Tugas Berat kuliah akhirnya selese juga. Tapiii, sayangnya, masih banyak tugas menanti.. Hikshikshiks.. ... Tapi, tenang, aku masih sempet-sempetin diri untuk berusaha memberikan ilmu... hwahwahwa.. Kali ini tentang garis-garis istimewa pada segitiga (tapi masih tahap dasar atau setara dengan SMP dan sebaiknya baca juga tentang dalil Stewart).. Tahukah km apa saja garis-garis istimewa itu?

_____1. garis tinggi (altitude)
_____2. garis berat (median)
_____3. garis bagi (angle bisector)
_____4. garis sumbu (perpendicular bisector)

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Garis Tinggi
Garis Tinggi adalah garis yang tegak lurus dari salah satu titik sudut segitiga terhadap sisi yang di depannya.


Perhatikan segitiga ABC. Dari gambar di atas, CD merupakan garis tinggi dengan alasnya adalah garis AB. Namun, titik D tidak selalu berada pada garis AB. Bisa saja terletak pada perpanjangan AB, seperti pada segitiga tumpul (obtuse), seperti pada gambar di bawah
Di atas, diperlihatkan garis tinggi yang berasal dari sudut C. Jika ketiga garis tersebut ditarik dari ketiga sudut, maka ketiga garis tersebut akan berpotongan pada suatu titik (titik itu disebut ortocenter).
Dari gambar di atas, titik T adalah titik ortosenter. Titik ortocenter akan selalu berada di dalam segitiga apabila segitiga itu lancip (acute). Sebaliknya, akan berada di luar, apabila segitiga itu tumpul (obtuse). Kalau segitiga siku-siku (right triangle), tentunya ortocenter akan berada di titik sudut siku-sikunya... Hmmm..

Panjang garis tinggi dapat dihitung dengan mengetahui Luas segitiga. Lalu, dengan memakai rumus Luas = 1/2.a. t, maka tentunya tinggi segitiga (t) bisa diketahui dengan mudah. Cara lain bisa dengan mengetahui panjang proyeksinya terlebih dahulu, lalu menggunakan phytagoras untuk mendapatkan tingginya... (Lihat dalil Stewart)^^..

Contoh soal 1: Perhatikan segitiga ABC di bawah. Diketahui AB=20 cm. BC = 24 cm. AD = 16 cm. Htunglah tinggi CE!
Jawab:
Luas segitiga dengan alas BC = Luas segitiga dengan alas AB
\frac{1}{2}.BC.AD = \frac{1}{2}.AB.CE
24.16 = 20.CE
CE = 19,2 cm.
Wah, mudahhh sekalleeee.... Wew... Memank sih mudah.. Namanya juga soal SMP.. =.="

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Garis Berat
Garis berat adalah garis yang terhubung dari titik sudut suatu segitiga ke titik tengah sisi yang berlawanan. Hal ini mengakibatkan daerah yang terbagi oleh garis berat menjadi sama luasnya. Lihat gambar di bawah.. Luas segitiga ACD akan sama dengan BCD karena panjang alas dan tingginya sama.
Ketiga garis berat akan berpotongan di satu titik, yang namanya centroid/center of gravity/titik pusat massa. Di titik inilah benda tersebut dapat setimbang.
Garis berat memiliki keistimewaan: garis berat-garis berat sebuah segitiga selalu saling berpotongan menurut perbandingan 2:1.
Lihat contoh gambar di atas. Maka, CT:TF = AT:TD = BT:ET = 2:1.

Panjang garis berat dapat dicari menggunakan dalil Stewart.
Ambil contoh gambar di atas, maka panjang CF dicari dengan cara berikut:
===>rumus panjang garis berat.

Contoh Soal 2:
Pada segitiga ABC, CD merupakan garis berat. AB=14 cm, BC =10 cm dan AC=6cm. Hitung panjang CD!

Jawab:


=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Garis Bagi Dalam Segitiga
Garis bagi dalam adalah garis yang melalui titik sudut segitiga dan membagi kedua sudut di sebelahnya sama besar. Garis ini terletak dalam segitiga.
Garis bagi juga memiliki keistimewaan. Lihat gambar di atas. c_1: c_2= b:a. Perbandingan ini selalu berlaku untuk garis bagi dalam. Selain itu, perbandingan c_1: (c_1 + c_2) = b: (b+a) juga berlaku.

Garis bagi dalam ini berpotongan di satu titik (namanya incenter), dan titik ini merupakan pusat dari lingkaran dalam segitiga (incircle). Lihat gambar di bawah. Jari-jarinya dapat dicari dengan menggunakan prinsip Luas segitiga = Luas 3 segitiga dalam.
Lalu, bagaimana cara kita tahu berapa panjang garis bagi segitiga?? Lihat gambar di bawah. Pertama, kita harus mencari panjang dan . Kemudian, gunakan dalil Stewart. Ulasan lengkapnya ada di bawah.

Perhatikan gambar di samping!
CD = disebut garis bagi dalam \angleC.
\angleACD = \angleDCB.
Berlaku:


Karena + = c, maka:
===>

===>

Dengan menggunakan dalil Stewart, maka didapat:
d_c^2 = ab -c_1c_2
Contoh Soal 3:
Pada suatu segitiga ABC, diketahui a=6cm, b=12 cm, dan c=4 cm. Hitunglah panjang garis bagi dalam titik C(CD)!

Jawab:
===>
===>
===>

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Garis Bagi Luar Segitiga
Merupakan garis yang berasal dari titik sudut segitiga yang membagi dua sudut yang sama antara suatu sisi segitiga dengan perpanjangan sisi yang lain. Garis ini terletak di luar segitiga.
Maka, perbandingan yang selalu terjadi ialah: : = b:a.
Panjang garis bagi luar segitiga dapat dihitung dengan cara berikut.
Anggap b>a, - = c, maka:
c_1 = \frac{b}{b-a} \times c ===>
===>

Maka, dengan menggunakan dalil Stewart, didapat:
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Garis sumbu
Garis sumbu adalah garis yang melalui titik tengah suatu sisi segitiga dan tegak lurus terhadap sisi itu. Ketiga garis sumbu bertemu di satu titik yang dinamakan circumcenter. titik tersebut merupakan pusat lingkaran luar segitiga (circumcircle). Jari-jari lingkaran ini dapat dicari menggunakan prinsip kesebangunan segitiga.
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
SOAL TANTANGAN (gabungan materi dalil Stewart)
Silakan jawab di comment dengan cara singkat. Jika jawaban benar, saya akan menambahkan jawaban lengkap di halaman ini. Note: soal di sini masih tergolong mudah. Masih banyak soal yang lebih rumit dan variatif. ^^

1. Dalam segitiga PQR panjang sisi PQ = 16 cm, QR=9 cm, dan PR=19 cm. Hitunglah luas segitiga PQR! Hitung garis tinggi dari titik P(PS), Q(QT), dan R(RU)!

2. Sebuah segitiga ABC dengan AB = 8 cm, BC = 9cm, dan AC = 7cm. Garis tinggi AD dan BE berpotongan di titik T. Berapakah perbandingan panjang AT:TD ?

3. Sebuah segitiga ABC dengan AB=5 cm, BC = 6 cm, dan AC = 7 cm. AD dan BE adalah garis tinggi. Hitunglah luas segitiga CDE!

4. Dalam segitiga ABC, panjang sisi AB = 4 cm, BC = 7cm, dan AC = 8cm. Garis berat-garis berat AD,BE, dan CF saling berpotongan di titik Z. Hitunglah panjang AD, BZ, ZF!

5. Diketahui ada sebuah trapesium. Sisi-sisi sejajar trapesium adalah 16 cm dan 10 cm. Panjang kaki-kakinya 8 cm dan 10 cm. Hitunglah panjang kedua diagonalnya!

6. Diketahui segitiga ABC, AB=6 cm, AC = 7 cm, dan BC = 8cm. D pada AC dengan CD=3cm, E pada BC dengan CE = 5cm. Hitunglah panjang DE!

7. Diketahui segitiga ABC siku-siku di C. AC = 12 cm dan BC = 16 cm. Titik D dan E berada di ruas garis AB dimana AD = DE = EB. Hitunglah panjang CD dan CE!

8. Pada sebuah segitiga ABC, diketahui AB = 8 cm, BC = 7 cm, dan AC = 6cm. Pada perpanjangan AB terdapat titik D, sehingga BD = 1/2 AD. Hitunglah panjang CD!

9. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan AC = 8cm, AB = 6cm dan BC = 12 cm. Titik D pada AB dan titik E pada BC sehingga AD:AB = 1:3 dan BE = CE. Hitunglah panjang DE!

10. Sisi-sisi sejajar sebuah trapesium 6 cm dan 36 cm. Panjang diagonalnya 21 cm dan 27 cm. Hitunglah panjang kaki-kaki trapesium tersebut!

11. Sebuah segitiga ABC dengan AB = 10 cm, BC = 13 cm, dan AC = 17 cm. Titik P pada perpanjangan AB sehingga AP:PB = 7:5. Hitunglah panjang CP!

12. Suatu trapesium dengan sisi-sisi sejajar 12 cm dan 25 cm. Panjang kaki-kakinya 12 cm dan 14 cm. Hitunglah luas trapesium tersebut!

13. Sisi-sisi sejajar sebuah trapesium 16 cm dan 5 cm. Panjang kaki-kakinya 6 cm dan 7 cm. Hitunglah panjang garis yang menghubungkan titik tengah dari sisi-sisi sejajarnya.

14. Sebuah segitiga ABC siku-siku di A. AB=6 cm, dan AC=8 cm. AD adalah garis bagi dalam. Hitunglah panjang BD, CD, dan AD!

15. Sebuah segitiga ABC dengan AB = 21 cm, BC = 18 cm, dan AC = 12 cm. CD adalah garis bagi. E adalah titik tengah BC. Hitunglah panjang DE!

66 comments:

  1. makasih ya materinya,barusan desy copy

    ReplyDelete
  2. frm charlie :
    good job......yang semangat yaach berbuat kebaekan kyk gini, i proud to u...............
    thx a lot

    ReplyDelete
  3. analisin dan pembuktian yang cuakep

    ReplyDelete
  4. mantap kamu terlalu baik ini sangat berguna buat tugas sekolahku thanks

    ReplyDelete
  5. ok.........
    kren...
    tugas aku siap........

    ReplyDelete
  6. Ahh Stresssssssssssss.............. Bsk Ulum Malah.......

    ReplyDelete
  7. mkcieee yyupzzz materiny....

    cz lmyan ngbntu ku ngrjain mate,,
    heehheee(^-^)

    ReplyDelete
  8. arggghhhh,,,,,
    bsop ulngn mate,,,

    mn lom ngrti lggg....

    ReplyDelete
  9. thx bget ya...
    bsog UAS...
    hehe...

    ReplyDelete
  10. (hea, ada kakek komen..)

    makasih buat artikelnya..

    ReplyDelete
  11. trimz yow....
    arek-arek wagir!!!

    ReplyDelete
  12. makasih ya materinyaa

    ReplyDelete
  13. wahhh... mkasi kk dpet bhan tugas deh...
    walaopun bgi kk gampang tp bgiku kliatan rumit bnget... soalna di DMP ku bru diajarin pngertiaan sma cara buat na .

    ReplyDelete
  14. maaf bkan DMP, tpi SMP , td salah ketik

    ReplyDelete
  15. ahhhhh,,, ini neh yang di cari2,,, thank u yahhhh,,,

    ReplyDelete
  16. bos, ane ada pertanyaan neh... ada sebuah segitiga dengan masing2 sudut besarnya 20deg, 70deg, dan 90deg.... diketahui panjang diagonalnya 3050mm, berapa panjang masing2 sisinya?....

    thanks atas jawabannya, ane pusing neh...

    tolong rumusnya sekalian...

    ReplyDelete
    Replies
    1. segitiga mana ada diagonalnya?

      Delete
  17. keren.. o.o banyak kebantu sama rangkuman ini. :)thanks a lot..

    ReplyDelete
  18. makasih masz Brooo....
    ane ijin copas yaaa...

    ReplyDelete
  19. keren......,,pas baget..!! saya lagi butuh ni artikel. thanks a lot...

    ReplyDelete
  20. ane share ye ..


    -visit-
    http://gsoftware.wordpress.com

    ReplyDelete
  21. nah., pas banget buat tugas persentasi matematika ku ! terimakasih banyak ya !

    ReplyDelete
  22. ikh krenz BuanGetZ! unTunk dha nie website,,,,,,,, q coPaZ eah!,,, Thank you so much for your blessing, amin(?) wkwkwk

    ReplyDelete
  23. aku sayang Farrel follow aku yah,aku anak eksis kok:D

    ReplyDelete
  24. selesai tugas!

    ReplyDelete
  25. pembuktian perbandingan garis berat gimana?

    ReplyDelete
  26. berapa besar sudut segitiga yang paling besar dalam geometri eliptik????
    a.270 derajat
    b. 278 derajat
    c. 275 derajat
    d. 540 derajat

    ReplyDelete
  27. sorry ralat,,,maksudnya jumlah sudut dalam segitiga...ok.

    ReplyDelete
  28. Ini nih yang akuy cari :D thank's bgt :)

    ReplyDelete
  29. nunut kopi ya, makasih banget infonya
    :D

    ReplyDelete
  30. ulasan yang sangat simpel. tks

    ReplyDelete
  31. thanks materinya

    ReplyDelete
  32. makasih ane dah ngerti sekarang

    ReplyDelete
  33. makasih atas ilmunya

    ReplyDelete
  34. thanks bwt infonya ... brusn kluar ni di try out SMP

    ReplyDelete
  35. Thanks's. . . Garis sumbu yg saya cari. Males cari lagi di buku.

    ReplyDelete
  36. tolong dibantu ya,,,
    Buktikan bahwa dua segitiga kongruen jika dua pasang sisinya sama panjang, pasangan garis berat yang terletak diantara kedua sisi tersebut sama panjang.

    ReplyDelete
  37. thanks :) sangat membantu :D

    ReplyDelete
  38. wow lumayan buat tugas tengkyuu

    ReplyDelete
  39. kalau misalnya ada soal diketahui titik-titik sudut suatu segitiga A(2,-1,4), B(3,2,-6), dan C(-5,0,2). Berapa panjang garis berat dari titik A?? tolong dibantu yaa...

    ReplyDelete
  40. thanks!!
    sekalian mau tanya lagi.
    misalkan dalam segitiga ABC, dimana ruas AD dan BE adalah garis-garis bagi. bagaimana cara kita membuktikan AD : BE = AC : BC?

    ReplyDelete
  41. makasih bang
    siap buat unas besok
    semangant

    ReplyDelete
  42. mohon nomor 10 bgaimana cara mengerjakannya terimakasih

    ReplyDelete
  43. bagus materinya okeeeeee

    ReplyDelete
  44. sangat membantu broooo

    ReplyDelete
  45. yg mau tanya masalah fisika dan mtk silakan kontak 085242455666

    ReplyDelete
  46. Sebuah segitiga ABC dengan AB = 8 cm, BC = 9cm, dan AC = 7cm. Garis tinggi AD dan BE berpotongan di titik T. Berapakah perbandingan panjang AT:TD ?

    garis tinggi AD dan BE berpotongan di titik T? kalo garis tinggi ga ngerti jalannya.
    atau garis berat AD dan BE berpotongan di titik T? kalo garis berat perbandingannya 2 : 1

    ReplyDelete
  47. This is very well,I'll need it for y exam,thank's for the help.

    ReplyDelete
  48. Pembahasan nomor 2 doongg

    ReplyDelete
  49. minta pembahasan untuk semua nomer dong kk ..
    terimakasiiih

    ReplyDelete
  50. pembahasan semuanya donk please !!!!!!

    ReplyDelete
  51. eeeeeee bales donk , butuh ini cepatlaaaahhhhhhhhh

    ReplyDelete