What's the content of this blog

Composition: Mathematics, my favourite lesson 90%. Mathematics Software 3%, My Life and Experience 3%, and Others 4%..
-- Here we can share knowledge --
-- Enjoy --

Friday, October 3, 2008

Dalil Stewart

Wew... Ternyata dalil ini sungguh sangat berguna dalam menyelesaikan berbagai masalah dalam garis-garis segitiga. Contohnya pada soal berikut:

Contoh Soal:
Jika AB = 10 cm, CB = 12 cm, AC = 6 cm, dan DB = 7 cm, maka berapakah panjang CD?
(jangan dijawab di sini doeloe yach)... ^^


Sebelum mengenal dalil Steward, alangkah baiknya kalau kita mengenal apa itu proyeksi.
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Mengenal Proyeksi
Hmm. Perhatikan gambar berikut.
Jika ruas garis AB diproyeksikan ke garis l, maka hasilnya adalah sebagai berikut.
Dari gambar di atas, AA' tegak lurus terhadap garis l dan BB' tegak lurus terhadap garis l. A'B' adalah proyeksi AB pada l.

Sedangkan, apabila ruas garis l diproyeksikan terhadap AB, maka hasilnya adalah sebagai berikut.

Pada gambar di atas, ruas garis yang berwarna merah adalah proyeksi ruas garis l terhadap AB.
Tentunya, dari kedua contoh di atas, kalian sudah tahu istilah proyeksi bukan.? Jadi, proyeksi itu seperti memetakan suatu daerah secara tegak lurus terhadap daerah lainnya. Begitu loh... ^^

Contoh soal 1:
Tentukan proyeksi dari:

a. AB pada BC
b. BC pada AC
c. AB pada AC
d. AC pada BC
e. BC pada AB
f. AC pada AB


Jawab: a. BD; b. CE; c. AE; d. CD; e. BF; f. AF.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Rumus Proyeksi Pada Segitiga Lancip

Perhatikan gambar di samping!
\triangleABC adalah segitiga lancip.
CF \perp AB (CF=garis tinggi)
AF = p(proyeksi AC pada AB), maka BF = c-p






________Perhatikan \triangleACF
t^2=b^2-p^2

Perhatikan \triangleBCF
t^2=a^2-BF^2
t^2=a^2-(c-p)^2
__________
Sehingga:
b^2-p^2=a^2-(c-p)^2
b^2-p^2=a^2-(c^2-2cp+p^2)
\usepackage{cancel} b^2-\cancel{p^2}=a^2-c^2+2cp-\cancel{p^2}

p=\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}
==>rumus proyeksi AC pada AB
___pada segitiga lancip
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Rumus Proyeksi Pada segitiga Tumpul

Perhatikan gambar di samping!
\triangleABC adalah segitiga tumpul.
CF \perp AB (CF=garis tinggi)
AF = p (proyeksi AC pada AB).




________Perhatikan \triangleACF
t^2=b^2-p^2

Perhatikan \triangleBFB
t^2=a^2-BF^2
t^2=a^2-(c+p)^2
__________
Sehingga:
b^2-p^2=a^2-(c+p)^2
b^2-p^2=a^2-(c^2+2cp+p^2)
\usepackage{cancel} b^2-\cancel{p^2}=a^2-c^2-2cp-\cancel{p^2}
-2cp=b^2+c^2-a^2
p=-\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}\right)
==>rumus proyeksi AC pada AB
___pada segitiga tumpul
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Dalil Stewart
Nah, sekarang baru kita akan membahas dalil Stewart. Kenapa kita harus terlebih dahulu tahu tentang proyeksi?? Karena dalil Stewart menggunakan dasar rumus tersebut... Let's check it out..!!! XDXDXD
ABC adalah segitiga sembarang. D adalah sembarang titik pada sisi AB. AD= c_1 dan DB = c_2.
Jika a, b, c, c_1, dan c_2 diketahui, maka panjang CD (l) dapat dihitung sebagai berikut.
Perhatikan \triangleACD,
p=\frac{c_1^2+\overline{CD}^2-b^2}{2c_1}
Perhatikan \triangleBCD,
p=-\left(\frac{c_2^2+\overline{CD}^2-a^2}{2c_2}\right)

Gabungkan keduanya, maka:
\frac{c_1^2+\overline{CD}^2-b^2}{2c_1}=-\left(\frac{c_2^2+\overline{CD}^2-a^2}{2c_2}\right)

Kali silang, lalu bagi dengan 2, maka:
c_2c_1^2+c_2\overline{CD}^2-c_2b^2=-c_1c_2^2-c_1\overline{CD}^2+c_1a^2
(c_1+c_2)\overline{CD}^2=c_1a^2+c_2b^2-c_1c_2^2-c_1^2c_2
\overline{CD}^2.(c_1+c_2)=c_1a^2+c_2b^2-c_1c_2(c_1+c_2)

Ingat bahwa c_1+c_2=c, maka:
\overline{CD}^2.c=c_1a^2+c_2b^2-c_1c_2c

Rumus di atas itulah yang sering dikenal debagai dalil Stewart.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Contoh Soal 2:

Jika AB = 10 cm, CB = 12 cm, AC = 6 cm, dan DB = 7 cm, maka berapakah panjang CD?




Jawab:
AB\overline{CD}^2=AD.BC^2+BD.AC^2-AD.BD.AB
10.\overline{CD}^2=3.12^2+7.6^2-3.7.10
10.\overline{CD}^2=474
\overline{CD}=\sqrt{47,4}
\overline{CD}=\text{6,88}_________==> menggunakan kalkulator.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Selanjutnya, dalil Stewart sangat terpakai terutama untuk menghitung panjang garis-garis istimewa pada segitiga. Silakan cek bagian "Garis-Garis Istimewa pada Segitiga", untuk melihat sambungan/lanjutan materi ini. ^^

18 comments:

  1. Hm, kreatif banget sich..^_^ pokok saya tunggu tambaahan ilmu matematikanya dech...

    ReplyDelete
  2. hohoho..^_^
    slah satu pecinta metematika jg y?!
    sama dunkk...
    ku tunggu hal" lain ttg math..

    ReplyDelete
  3. ssssss said
    Ya cukup membantu, teruskan and thanks

    ReplyDelete
  4. salut ......
    boleh nanya ga?kalo mw nyari luas lingkaran ga beraturan gmn y?kalo tau send dunk ke rafsan_mail@yahoo.com, aq kbtulan lg test kompre.....se x lg salut buat info nya....
    thx so much......

    ReplyDelete
  5. Hihi.. Lingkaran itu khan pasti beraturan. Kalo ngak beraturan, bukan lingkaran lagi donkx.. Hohoho.. XDXD.. Hmm. Aku kurang jelas sih maksudnya.. Gak beraturan yang kayak gmana ya..

    ReplyDelete
  6. SORY BOSS KEMAREN q lg error abiz, maksudnya bukan lingkaran tp luas ga beraturan. kalo di jurusanku (teknik sipil) pake planimetri.kalo rumusnya kira-kira pake metode apa y?aq udh nyoba pake integral per pias tp ribet hitungannya. thax's buat pencerahannya......
    salut 2 ur blog......

    ReplyDelete
  7. wah, keren pak, makacih banyak ya.....

    ReplyDelete
  8. wah keren bgt.. dalil stewart.... bisa menyelesaikan soal beribu-ribu tipe.

    ReplyDelete
  9. ini ngebantu aku untuk ngebuat presentasi matematika bangeeeeeeet.. makasiih

    ReplyDelete
  10. dalil stewart tu pa ia? tlong jlsin..

    ReplyDelete
  11. untuk lingkaran yang tidak beraturan pakenya integral, soalnya yang kurang beraturan merupakan penjumlahan dlm bentuk segitiga,...

    ReplyDelete
  12. like this ^^

    salam fikhri-matematika UNPAD.

    ReplyDelete
  13. THX bgt :D
    sangat Ngebantu gue.

    ReplyDelete
  14. Makasih infonya, semangat ngeblog matematika.
    Dumatika.com

    ReplyDelete
  15. thankies cinta mati gue ama page ini

    ReplyDelete
  16. waah ini sangat membantu saya buat ngajar matematika smp, apalagi saya bukan dari jurusan matematika.. hehehee

    ReplyDelete