What's the content of this blog

Composition: Mathematics, my favourite lesson 90%. Mathematics Software 3%, My Life and Experience 3%, and Others 4%..
-- Here we can share knowledge --
-- Enjoy --

Tuesday, October 7, 2008

Mengenal Bilangan Rasional dan Irasional ^^

Huaam. Sudah tahukah kalian tentang bilangan irasional? Lalu, kalau sudah tahu, tentunya kalian bisa donk menjawab pertanyaan ini:

1. Apakah adalah bilangan irasional?
2. Apakah \pi adalah bilangan irasional?
3. Apakah 0,12111111... adalah bilangan irasional?
4. Bisakah kamu membuat bilangan 0,25252525... menjadi bentuk pecahan a/b yang paling sederhana?
5. Buktikan bahwa \sqrt{2} itu irasional (Sumber: ariaturns)
6. Buktikan 2log 3 adalah bilangan irasional
7. Dapatkah kamu menemukan suatu bilangan rasional yang merupakan hasil dari suatu bilangan irasional yang dipangkatkan dengan bilangan irasional?

Nah, kalo kalian masih b'lom tw, baca lagi joedoel post di atas: "Mengenal Bilangan Rasional dan Irasional". So, tenang aja... Here, I'll introduce you my friend, Irrational numbers.. Hehehe..

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Definisi Bilangan Rasional
Kalau menurut kaidah bahasa Indonesia, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak rasional. Jadi, kita harus tahu dulu apa itu bilangan rasional. Bilangan rasional adalah bilangan Real yang dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan \frac{a}{b} di mana a dan b harus integer. Jadi, Bilangan irasional adalah bilangan Real yang TIDAK dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan \frac{a}{b}.

Mungkin, masih bingung jika belum ada contoh. Langsung ke contoh saja.
Contoh:
1. Angka 4. Angka ini dapat disusun ulang menjadi .a=4 dan b=1. Jadi, 4 bilangan rasional.
2. Pecahan \frac{2}{3}. Pecahan ini jelas merupakan bilangan rasional, karena a=2 dan b=3.
3. Pecahan \frac{35}{42}. Ambil a=35 dan b=42. Jelas, bilangan ini merupakan bilangan rasional juga.

Bagaimana dengan bilangan ..???
Jawab:
Bilangan adalah bilangan imajiner, bilangan yang tidak real (bilangan yang sesungguhnya tidak ada, karena bilangan negatif tidak bisa diakar 2). Jadi, jelas kalau bilangan itu tidak termasuk bilangan rasional maupun bilangan irasional.

Bagaimana dengan bilangan 0,98787768638?
Jawab:
Tentu saja bilangan rasional. Itu khan bisa diubah menjadi \frac{98787768638}{100000000000}.

Bagaimana dengan bilangan desimal tak hingga banyaknya dan memiliki pola desimal yang berulang-ulang seperti bilangan 0,25252525...?
Jawab:
Misalkan
A= 0,2525252525.... _____._(persamaan pertama)
Kalikan A dengan 100 menghasilkan:
100A=25,2525252525.... ___(persamaan kedua)
Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu:
100A-A = 25,2525252525... - 0,252525252525...
99A = 25
A = \frac{25}{99}.

Ternyata bilangan 0,252525252525... dapat dibentuk menjadi pecahan \frac{a}{b} di mana a=25 dan b=99.
Jadi, bilangan 0,25252525... adalah bilangan rasional.

Apakah 0,12111111... adalah bilangan rasional?
Jawab:
Jangan terkecoh dengan angka 2. Ini juga bagian dari bilangan berpola.
Anggap
A=0,121111...
Kalikan A dengan 100 menghasilkan
100A = 12,1111... _____._(persamaan pertama)
Kalikan lagi dengan 10 menghasilkan
1000A = 121,1111... ____(persamaan kedua)
Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu
1000A-100A = 121,1111... - 12,1111...
900 A = 109
A = \frac{109}{900}.

Jadi, a = 109 dan b=900. Jadi, 0,1211111... merupakan bilangan rasional.

Apakah semua bilangan bulat, bilangan pecahan, dan bilangan desimal, bilangan desimal tak hingga berpola merupakan bilangan rasional?
Jawab:
Ya. Secara keseluruhan itu benar. Akan tetapi, pecahan yang pembilang atau penyebutnya bukan bilangan rasional belum tentu rasional.

Bagaimana menentukan suatu pecahan dari bilangan desimal berpola dengan cepat?
Jawab:
Sangat mudah. Pertama tentukan dulu berapa banyak bilangan yang berulang. Lalu, bilangan yang berulang itu tinggal dibagi 9 atau 99 atau 999 dan seterusnya (tergantung dari banyak bilangan yang berulang tadi). Lihat contoh di bawah.

Contoh:
1. Tentukan bilangan pecahan \frac{a}{b} paling sederhana dari bilangan 0,123123123123123....
Jawab:
0,\overbrace{123}^{}\overbrace{123}^{}\overbrace{123}^{}...
Terlihat bahwa ada 3 bilangan yang berulang. maka pecahan itu adalah \frac{123}{\underbrace{999}_{3}}.
Setelah disederhanakan maka menjadi \frac{41}{333}.

2. Jika \frac{a}{b} adalah suatu pecahan dari bilangan 0,0142857142851714285171428517.... Tentukan a+b positif terkecil!
Jawab:
Terlihat bahwa ada 6 bilangan yang berulang, yaitu 142857. Jadi, supaya semua desimal bergeser ke kiri, kalikan saja dengan 10, sehingga menjadi 0,142857142851714285171428517....
Dengan cara yang sama seperti di atas, maka pecahan tersebut adalah:\frac{142857}{\underbrace{999999}_{6}}\times\left(\frac{1}{10}\right).
Setelah disederhanakan, maka hasilnya adalah . Dengan demikian, a+b positif terkecil yang diminta adalah 70+1 = 71. Mudah bukan??

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Definisi Bilangan Irasional
Nah, sekarang kita baru lanjut ke "Bilangan Irasional". Tentunya, jika sudah paham tentang konsep bilangan rasional, tidak akan sulit memahami konsep ini. Intinya, jika bilangan itu tidak dapat dijadikan pecahan \frac{a}{b}, maka bilangan itu irasional.
Bilangan dengan desimal tak hingga dan tak berpola apakah merupakan bilangan irasional?
Jawab:
Ya. Misalnya pi yang disimbolkan \pi dengan digit 3,14159265358979323846264.... Digit-digit itu tak pernah berulang. Oleh karena itulah \pi tidak bisa dijadikan pecahan \frac{a}{b}. Begitu pula dengan \sqrt{2} yang digit-digitnya adalah 1,41421356237309504880168872420969807....

Oh iya, bilangan \sqrt{2} juga merupakan bilangan irasional yang pertama kali berhasil dibuktikan orang sebelum Masehi. Orang itu bernama Hippapus (Sumber: ariaturns).

Untuk membuktikan apakah \sqrt{2} itu irasional, kita tidak perlu menghitung semua digitnya karena digitnya itu infinite (tak hingga) banyaknya. Hippapus berhasil memberikan kita gambaran bagaimana membuktikannya dengan lebih mudah. Bukti ini juga berlaku untuk akar bilangan lainnya, seperti akar 3, akar 5, dan seterusnya.

Bagaimana cara membuktikan bahwa \sqrt{2} itu bilangan irasional?
Jawab:
Untuk membuktikan \sqrt{2} adalah irasional kita bisa menggunakan metode kontradiksi (proof by contradiction), yaitu dengan mengasumsikan bahwa lawan dari pernyataan adalah benar lalu menunjukkan bahwa asumsi tersebut salah yang artinya pernyataan dalil tersebut benar.

Pertama, asumsikan bahwa \sqrt{2} bilangan rasional yang bisa dibentuk menjadi \frac{a}{b}.
\sqrt{2} = \frac{a}{b}
Pindah ruas dan kuadratkan, sehingga menjadi:
2 b^2 = a^2
Karena ruas kiri genap, maka ruas kanan juga harus genap. Oleh karena itu, misalkan a = 2k.
2 b^2 = (2k)^2
b^2 = 4k^2
Maka mengakibatkan b^2 juga genap. Artinya b haruslah genap.
Artinya, pada asumsi ini mengakibatkan a dan b keduanya haruslah genap. Padahal, bilangan a dan b ini haruslah relatif prima. Coba, bayangkan saja. Apabila kedua bilangan harus genap, artinya bilangan tersebut seharusnya bisa disederhanakan bukan? Jadi, tidak akan ada a dan b yang memenuhi kondisi \sqrt{2} = \frac{a}{b}. Jadi, \sqrt{2} adalah bilangan irasional.

(Sumber: ariaturns)

Bagaimana cara membuktikan bahwa 2log 3 adalah bilangan irasional?
Jawab:
Gunakan cara yang sama seperti soal sebelumnya.
Asumsikan bahwa 2log 3 adalah bilangan rasional. Untuk positif integer m dan n, maka kita dapat:
2log 3 = \frac{m}{n}
2^{\frac{m}{n}} = 3
2^m = 3^n
Di sini kita akan menemui sesuatu yang kontradiktif. Ruas kiri, 2^m, akan selalu bernilai genap untuk semua nilai m, sedangkan untuk ruas kanan, 3^n akan selalu bernilai ganjil untuk semua nilai n. Maka, tidak mungkin ada nilai m dan n yang memenuhi. Jadi, 2log 3 adalah bilangan irasional.

Dapatkah kamu menemukan suatu bilangan rasional yang merupakan hasil dari suatu bilangan irasional yang dipangkatkan dengan bilangan irasional?
Jawab:
Soal di atas dapat ditulis ulang menjadi sebagai berikut.
a^b = c, di mana a dan b adalah bilangan irasional dan c adalah bilangan rasional.

Seandainya, kita ambil contoh a = \sqrt{2} dan b = \sqrt{2}, maka kita tentunya bisa saja menganggap bahwa \sqrt{2}^{(\sqrt{2})} sebagai salah satu contoh bilangan rasional. Maka, di sini jawabannya sudah didapat.

Namun, apabila \sqrt{2}^{(\sqrt{2})} itu merupakan bilangan irasional, maka kita bisa menganggap bahwa a = \sqrt{2}^{(\sqrt{2})} dan b = \sqrt{2}, dengan demikian c = . Artinya, c = 2, merupakan jawaban yang dimaksud.

Dari semua bilangan Real yang ada, manakah bilangan yang lebih banyak, bilangan irasional atau bilangan rasional?
Jawab:
Semua bilangan bulat adalah bilangan rasional. Bilangan bulat dapat ditulis dalam bentuk \sqrt{n^2}misalnya akar 1, akar 4, akar 9, akar 16 dan sebagainya. Namun, ternyata akar 2, akar 3, akar 5, dan seterusnya merupakan bilangan irasional. Ternyata, bilangan irasional mengambil celah yang lebih banyak ketimbang bilangan rasional. Dan lagi, bilangan irasional juga bukan hanya didapat dari akar pangkat 2, tapi juga akar pangkat 3 dan seterusnya. Hal ini mengakibatkan jumlah bilangan rasional menjadi tak terhingga lebih sedikit ketimbang bilangan irasional.

Meskipun bilangan rasional juga melingkupi pecahan, namun apabila pecahan tersebut diakarkan (akar pangkat 2, 3, dan seterusnya), maka akan menghasilkan bilangan irasional.
Misalnya, \frac{2}{3} merupakan bilangan rasional, namun \sqrt{\frac{2}{3}} , , dan seterusnya merupakan bilangan irasional. Ternyata jumlahnya jauh lebih banyak bukan?

Kesimpulan: Dalam himpunan bilangan Real, jumlah bilangan irasional jauh lebih banyak daripada jumlah bilangan rasional.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Sekian pembahasan mengenai konsep bilangan rasional dan irasional. (Masih ada tingkat lanjutannya.) Jika ada yang tidak dimengerti, tanya ajah.. ^^..

Sumber: macem2, salah satunya http://ariaturns.wordpress.com/2008/09/01/akar-2.
Thx for http://jovieblog.blogspot.com juga yang turut memberi inspirasi mengenai design blog.

45 comments:

  1. Wah Hen, sebenarnya waktu baca dari atas tuh aku ngerti semua..

    Sampe bawah juga ngerti
    Tapi sampe paling bawah udah bingung... ~_~

    Mungkin karena memang logika ku gak jalan yah?

    haha

    Hmm..
    Ini revolutionnya bagus, dah 3 bulan dah revolution, hebat2 kamu hen ^^

    Oh iya hen, gak nyangka yah blog kamu udah 3 bulan ^^

    Selamat yah ^^

    ReplyDelete
  2. Bener2 luar biasa jago matematika nih...
    aku suka matematika tapi kok sampe skrg masih O'on nih Mas...
    gimana sih caranya biar pinter kayak Mas Hendry??

    Oh iya, kalo postingnya dari paling basic..kayaknya aku butuh banget nih, kalo yang kelas tingi kayak gini Jovie masih belom ngerti Mas..
    ====================
    wah...ternyata luar biasa sekali nih ada border2nya...

    and...hayo...hayo...view source kode yah...kreatif banget...

    thx yah Mas....

    ReplyDelete
  3. Kunci kita bisa karena kita itu suka.. Makanya, mbak jovie bisa jadi vokalis coklat.. Eh, salah... Maksudnya, pinter bikin blog... :P

    Loh, ini bukannya yang basic yach..wkwkwk

    ReplyDelete
  4. hehe..Mas...lagi ngecek nih kotak komentarnya...begeser ke kanan gimana?..
    Oh ternyata gitu yah...
    OK deh nanti aku post caranya,,sbnrnya sih mau aku post udah lama tapi gak jadi2 belom ada waktu...

    ReplyDelete
  5. ada ga sih jumlah 2 bilangan irasional yang hasilnya bilangan rasional??

    ReplyDelete
  6. oia, tolong kasih penjelasan singkat dan sebutin dua bilangan itu..
    aku udah pusing mikirinnya mas...
    makasih..
    ^_^

    ReplyDelete
  7. ada ga sih jumlah 2 bilangan irasional yang hasilnya bilangan rasional??

    tolong kasih penjelasan singkat dan sebutin dua bilangan itu..
    aku udah pusing mikirinnya mas...
    makasih..
    ^_^

    ReplyDelete
  8. Ada. Banyak lagi...

    a + b = c, dimana a dan b bilangan irasional sedangkan c itu bilangan rasional.

    Misalkan c = 2 (rasional) dan a = akar 2 (irasional)
    Maka b = (2 - akar 2)
    b itu adalah bilangan rasional karena polanya merupakan kebalikan dari pola a.
    Apakah sudah terjawab?

    ReplyDelete
  9. eh, maap ada kesalahan nulis di atas, mestinya b itu bukan bilangan "rasional" tapi "irasional". Sungguh, yang di atas itu kesalahan nulis.. >_<

    ReplyDelete
  10. mas gimana sih caranya iar qt2 bisa suka ma matematika?

    ReplyDelete
  11. Penjelasannya komprehensif. Terimakasih.

    ReplyDelete
  12. kasih contoh lah bang pembuktian akar 3 to akar 5 irasional

    ReplyDelete
  13. @atas: cara membuktikannya sama persis seperti membuktikan membuktikan akar 2. Untuk lebih jelasnya, silakan lihat di:

    http://ariaturns.wordpress.com/2008/10/18/hubungan-bilangan-prima-dan-irasional/

    :)

    ReplyDelete
  14. Maz gi mna cranya merasionalkan bentuk akar.?.

    ReplyDelete
  15. Maksudnya merasionalkan bentuk akar pada bilangan pecahan?

    Itu tinggal kali konjugatnya?
    misalnya
    1 / (a + √b)

    1 / (a + √b) * [ (a - √b) / (a - √b)]

    Jadinya:
    [ (a - √b) / (a^2 - b)]

    ReplyDelete
  16. mas aq mau tanya
    yang:
    2 b^2 = (2k)^2
    b^2 = 2k^2

    bukannya (2k)^2 = 4k^2 ?
    knp ini bentuknya tetap, kan bukanya kalo yg dikuadratkan di dlm kurung, harusnya semua yg didlm kurung itu ikut dikuadratkan?

    ReplyDelete
    Replies
    1. 2 b^2 = (2k)^2
      2 b^2 = 4k^2
      b^2 = 2k^2

      ?????

      Delete
  17. iya.. itu salah ketik... He2. Makasih koreksinya.

    ReplyDelete
  18. Bilangan yg tidak rasioanal apaan cie ? Ksh tau ==" Gk isa Matematika cma skali...
    Hwa...

    ReplyDelete
  19. Kak, bagaimana caranya membuktikan baahwa Log 2 itu bilangan irasional?

    ReplyDelete
  20. Asumsikan log 2 itu rasional.
    10log 2 = m/n, di mana m dan n bil bulat
    2^{m/n} = 10
    2^m = 10^n
    2^m = 2^n 5^n
    2^{m-n} = 5^n

    Misalkan k=m-n, k bil bulat
    2^k = 5^n
    Karena 2 dan 5 relatif prima, maka tidak ada k dan n yang memenuhi, maka tidak ada nilai m dan n yang memenuhi. Kontradiksi. Jadi, log 2 itu irasional.

    ReplyDelete
  21. giska.rose@yahoo.co.idMarch 26, 2010 at 5:18 PM

    tolong buktikan bahwa akar 3 juga merupakan bilangan irasional?
    please jwab....penting ney...
    mksh...

    ReplyDelete
  22. misal akar 3adalah rasional
    akar 3 = a/b , misal FPB=1
    3 = a kwdt / b kwdt
    3b kwdt= a kwdt
    3b kwdt adl kelipatan 3, a kwdt adl kelipaatan 3, a adl kelipatan 3.

    misalkan jika a bukan kelipatan 3.
    a = 3n + 1
    a kwdt = 9n kwdt + 6n +1
    a kwdt = 3 (3n kwdt + 2n) + 1
    jadi a bukan kelipatan 3.
    a = 3n + 2
    a kwdt = 9n kwdt + 12n + 4
    a kwdt = 3(3n kwdt + 4n + 1) + 3
    jadi a bukan kelipatan 3.

    misalkan a kelipatan 3.
    a = 3n
    3b kwdt = a kwdt
    3b kedt = 9n kwdt
    b kwdt = 3n kwdt
    3n kdt adl kelipatan 3, b kwdt adl kelipatan 3, b adl kelipatan 3, a dan b juga kelipatan 3. FPB=3.
    hal ini bertentangan dengan pengandaian. jadi akar 3 adalah bilangan irasional.

    ReplyDelete
  23. Mas,, bgmana dng ini??
    Buktikan atau sangkal 2^n adalah bilangan prima untuk semua bilangan bulat n yang tidak negatif..

    ReplyDelete
  24. kalau misalkan pada contoh 4 log 8 bagaimana? atau 7 log 3? pembuktiannya kan berbeda?

    ReplyDelete
  25. mas... mo tanya...
    bagaimana dg "Fungsi Rsional"..???

    ReplyDelete
  26. apa mz punya cr yg mudah... bs minta penjelasan yg sederhana tentang Fungsi Rasional...
    thaxs b4...

    ReplyDelete
  27. kakak bisa jawab ini nggak!
    0.1999...=0.2000... and 0.3999...=0.4000...
    kita melihat bahwa sebuah bilangan rasional memilki 2 ekspansi desimal yang berbeda. Bilangan rasional yang mana yang memenuhi sifat tsb?

    ReplyDelete
  28. klo -1 doank irasional bkn ??

    ReplyDelete
  29. maaf gan mau nanya.
    bagian ini.
    Bagaimana dengan bilangan 0,98787768638?
    Jawab:
    Tentu saja bilangan rasional. Itu khan bisa diubah menjadi \frac{98787768638}{100000000000}.

    bilangan disebut rasional, kalau :
    1. bilangan yang dapat ditulis sebagai hasil bagi antara dua bilangan bulat,

    dan dapat ditulis dengan desimal berulang.

    maaf gan jadi contoh situ masukin 0,98787768638 sepertinya salah gan, 0,98787768638 itu IRASIONAL. sekian. :D

    ReplyDelete
  30. maap mau tanya buktinya
    irasional + rasional =irasional

    makasih sebelumnya

    ReplyDelete
  31. mau nanya ,
    apakah membuktikan √2 bilangan irasional ,hanya bisa dibentuk melalui a/b saja ? atau bisa dibentuk dengan cara lain
    makasih

    ReplyDelete
    Replies
    1. bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dengan bentuk a/b, dengan a,b adalah bilangan bulat, dan b bukan 0.

      jadi untuk menunjukkan bahwa akar 2 bukan rasional, harus ditunjukkan bahwa akar dua tidak bisa dirubah kedalam bntuk a/b.

      wallahu a'lam..

      Delete
  32. makasih buat informasinya, alhamdulillah rumayan aha [maklum DDR alias daya dong rendah] hehehe... trimz mas

    ReplyDelete
  33. jujur aku bingung stngh mati.. abis blum aja di kasih materi udah di suruh nyari tugas tentang bilangan ini.. XD

    ReplyDelete
  34. mas,perbedaan antara rational dan irrational number apa sih?thanks

    ReplyDelete
  35. makasih mas Hendry,,
    saya jd punya bahan buat ngajar. ~(^o^)~

    ReplyDelete
  36. thanks mas,
    Tp msh bingung dengan kalimat ini "dengan mengasumsikan bahwa lawan dari pernyataan adalah benar lalu menunjukkan bahwa asumsi tersebut salah yang artinya pernyataan dalil tersebut benar."
    Dalil apa mas??? mav sebelumnya

    ReplyDelete
    Replies
    1. mnrut sya gne, dalil yg dimksud dalam tulisan ini yaitu "akar 2 merupakan bil. irrasional"
      semoga mmbntu

      Delete
  37. mas mw nnya
    dua buah bilangan irasional yang jumlahnya rasional
    nah nilainy berapa ja yah
    mhon bantuanny :)

    ReplyDelete
    Replies
    1. budayakan membaca dari awal sampe akhir :)
      prtnyaan yg anda tanya ini sudah dijawab pada komentar diatasnya oleh admin :D

      Delete
  38. contoh ke 3
    0,98787768638
    itu kan desimal tak berpola, kok masuk rasional?

    Kalo emang bisa, berarti phi juga rasional dong
    3,14159265358979323846264
    dijadiin
    314159265358979323846264/100000000000000000000000

    ReplyDelete