Mengenal Summations dan Products ^^

Sekarang kita akan mengenal dasar-dasar Summations dan Products. Jika sudah paham, tentunya kalian bisa menjawab soal-soal di bawah:

1. Apa bedanya lambang dengan lambang ?
2. Apakah ?
3. Berapakah jumlah dari
4. Berapakah jumlah dari ?
5. =
6. A = . Hitung nilai A.
7. Hitunglah
8. Hitunglah hasil dari
9. Hitunglah hasil dari
10. Hitung:
11. =
12. =
13. =
14. =
15. =
16. =
dan, masih banyak soal yang lainnya....

Sangat menarik, bukan?? ^^
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Preface
Definisi Notasi Summations (Sigma) dan Products

Summations dan Products adalah simbol yang biasa digunakan untuk mempermudah penulisan terhadap suku-suku yang dijumlahkan atau dikalikan.
Jika suku-sukunya ditambah, maka gunakan simbol "Summations" atau atau "sigma".
Jika suku-sukunya dikalikan, maka gunakan simbol "Products" atau .
Masih bingung? Lihat lagi penjelasan di bawah.

Sering kita jumpai penjumlahan dengan suku-suku yang sangat banyak seperti ini:

Dalam beberapa kejadian, mungkin penulisan tersebut maksudnya sudah jelas, namun sangat panjang untuk dituliskan. Untuk itulah digunakan simbol untuk membuatnya menjadi lebih efisien, menjadi seperti berikut:

Nah, penulisan dengan notasi sigma/ sum di atas lebih singkat bukan.?
Note: variabel k disebut "dummy variable" karena variabel k bisa diubah-ubah menjadi j atau simbol lainnya. Simbol ini hanya berfungsi untuk iterasi (pengulangan) saja.

Perhatikan di bawah untuk melihat contoh-contoh notasi sum/sigma dan penguraiannya.

Sudah jelas belom.?? Jadi, intinya notasi summation dipergunakan untuk mempersingkat penjumlahan suatu barisan yang panjang. ^^

Lalu, apa bedanya dengan products.?
Nah, kalau products (atau biasa disimbolkan dengan ) biasanya digunakan untuk suku-suku yang dikalikan. Tentunya, jika kalian tahu summations, tak akan sulit mengenal products.. Lihat contoh di bawah.

Nah, sekarang tentunya kalian sudah tahu dong bedanya sums dengan products? ^^

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Bagian 2
Sifat-sifat Dasar Summations

1.	Dengan mudah kita membuktikan sifat ini dengan penjabaran biasa: Bukti:
2.	Setiap konstanta (yang tidak mengandung nilai k) boleh dikeluarkan dari notasi sigma. Lihat di bawah. c adalah konstanta. = Bukti: = =
3.	Sifat di atas berlaku karena adanya sifat kelinearan. Bukti: = _____________= _____________=

Beberapa hal lain yang perlu diperhatikan:

Bagaimana cara mendapatkan hasil dari ?
Perhatikan bahwa merupakan deret aritmatika dengan suku awalnya 1 dan beda antar sukunya juga 1. Jadi, kita dapat dengan langsung mendapatkan hasil dari notasi tersebut, yaitu:

Namun, rumus ini juga dapat diperoleh dengan teknik analog (lihat bagian 3).. ^^

Bagaimana cara mendapatkan hasil dari ?
Seperti soal sebelumnya. Jika deret tersebut diuraikan maka menjadi:
= . Terlihat bahwa barisan tersebut adalah barisan geometri dengan suku awal a dan rasionya juga a, maka dengan mudah kita bisa menghitung hasilnya dengan rumus geometri. Jadi, hasilnya sebagai berikut.

=

Contoh soal:

1.	Hitung . Jawab: = + = + 5. = + =
2.	Hitung Jawab: Sekarang nilai variabel k dimulai dari 10. Jika kita ingin membuat nilai k menjadi 1, maka nilai batas atas dan bawah kita kurangi dengan 9, namun nilai k di dalam kurung akan berubah menjadi (k+9). Proses ini namanya shifting (menggeser). Jika kita uraikan satu per satu sukunya, maka tidak akan terjadi perubahan pada setiap sukunya. = = = = =

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Bagian 3

Teknik Analog

Teknik ini sangat berguna dalam mengerjakan soal seperti berikut:
atau

, , , , dan seterusnya.
Semua rumus di atas dapat dicari menggunakan teknik analog. Lalu, bagaimanakah cara kerja teknik analog itu? Kita akan melihat semua penurunannya di bawah.

dapat dicari dengan menguraikan . Berikut penurunan rumus .

=

= + +

= +

= 2. + n

= 2. + n

=

Jika ada yang kesulitan memahami langkah-langkah di atas, silakan contact saya.. ^^
Lanjut. Kita akan membuktikan rumus dengan menguraikan .

=

= + + +

= 3. + 3. + n

=3.+3.+n

= 3. + 3. + n

= 3.

= 6.

= 6.

=

Dengan langkah yang sama, terbuktilah rumus .
Sekarang kita akan membuktikan dengan menguraikan .

=

= + + + +

= 4. + 6. + 4. + = 4.+6.+4.+

4. + 6. + 4. + =

4. + 6. + 4. + n =

4. + + + n =

4. =

=

Untuk membuktikan rumus pangkat 4, 5 dan seterusnya, kita dapat menggunakan teknik analog ini.

Contoh Soal:

1.	Jika A = dan B = , mana yang lebih besar antara A dan B? Jawab: A = = = 338350. B = = = 44100. Jadi, lebih besar A daripada B.
2.	= Jawab: = __________________________= __________________________= + __________________________= + __________________________= 333300.
3.	A = . Hitung nilai A. Jawab: A = 2.( ) _ = 2. () _ = 2. _ = 2. _ = 4057270425.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Bagian 4

Sifat-Sifat Dasar Product

Seperti yang sudah dijelaskan di atas, notasi berfungsi untuk mengalikan suku-suku.

Berikut sifat-sifat Products:

1.	Bukti: = 1
2.	= dimana c adalah constanta. Bukti: = = =
3.	= Bukti: = = =
4.	= di mana c adalah konstanta. Bukti: = = =
5.	= (ini merupakan sifat linearity) Bukti: = = =

Bagian 3 di atas hanya berfungsi untuk memperjelas saja. Sifat itu juga bukan untuk dihapal, tapi untuk dipahami (toh saya pun tidak hapal) :P..
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Bagian 5

Berpikir Kreatif Dalam menyelesaikan Masalah Deret

Mungkin ini adalah bagian yang ditunggu-tunggu oleh pembaca, yaitu mengenai pemecahan masalah secara kreatif. Kebanyakan deret diselesaikan dengan cara membuat suatu deret menjadi bentuk yang lebih umum atau mengusahakan agar suku-sukunya bisa saling meniadakan. Langsung ke masalah...! ^^

Soal-Soal:

1.	Hitunglah Jawab: Tidak perlu berpikir lama untuk mengerjakan soal seperti ini. Kerjakan terlebih dahulu apa yang bisa kamu kerjakan. =
2.	= Jawab: Kelihatannya sih susah. Tapi, intinya sama dengan nomor 1. Kerjakan apa yang bisa kamu kerjakan! ^^. Jadi, soal di atas, bisa disederhanakan menjadi: = = _____ = =
3.	Hitunglah hasil dari Jawab: Untuk kasus deret pecahan yang membentuk deret geometri, kita bisa mengakalinya dengan mengalikannya atau membaginya dengan rasio. Pertama, anggap A = Rasionya adalah . Bagi A dengan . Maka, 2A = Lalu, kurangkan 2A dengan A, maka: 2A A = ____A = 1 + 1 + ____A = 2 + 2. ____A = 2 + 2. ____A = 2 + 2. ____A = 3. Hasil yang sama akan didapat jika mengalikan A dengan .
4.	Hitunglah hasil dari Jawab: Kita dapat menguraikan suku-sukunya. dapat diuraikan menjadi . Lalu, dapat diuraikan menjadi , dst. Maka, persamaan menjadi: = =
5.	Hitung: Jawab: Mungkin soal ini mulanya membuat bingung. sekali lagi, kerjakan apa yang bisa kamu kerjakan. Misalnya 1+2 = 3 atau 1+2+3 = 6.. Maka, persamaan menjadi: Keluarkan 2. = Persamaan di atas identik dengan persamaan pada soal nomor 4. Setelah diselesaikan dengan cara nomor 4, maka ditemukan hasilnya menjadi: = =
6.	= Jawab: Soal ini identik dengan soal nomor 3. Bedanya, dikerjakan secara bertingkat. Anggap: A = Maka, A = Kurangkan A dengan A: A A = Nah, bagian RHS (Right Hand Side atau ruas kanan) ternyata hasilnya sudah didapat sewaktu kita mengerjakan soal nomor 3. (Lihat nomor 3) A = 3 A = 6.
7.	= Jawab: Mungkin ini adalah soal yang dapat dibilang paling rumit dari semua soal yang ada di sini. Pertama, untuk mempersingkat persamaan tersebut, gunakan notasi sigma. n=2009. = __________________= __________________= __________________= __________________= __________________= __________________= __________________= __________________= + Perhatikan bahwa hasil dari sebenarnya sudah didapat di nomor 4 __________________= n + __________________= Karena nilai n = 2009, maka tinggal disubstitusi, maka jawabannya diperoleh. =
8.	= Jawab: Ini adalah soal yang tricky. Coba diubah dulu dalam notasi sigma. n=99. = ____________= ____________= ____________= ____________= ____________= _____________________ ) ____________= =
9.	= Jawab: Kalikan setiap suku dengan sekawannya.. = x = = = x = = = x = = Maka persamaan pada soal menjadi: + + + ... + Lihat suku-suku yang bisa dicoret. Jadi, = = 99.
10.	= Jawab: Ini juga merupakan soal yang tricky. Akan sulit jika kita belum mengenal polanya. Mengingat bahwa , maka setiap suku dalam soal bisa diubah. Maka, persamaan yang suku-sukunya sudah diubah adalah: Lihat suku-suku yang saling meniadakan.. Maka, jawaban dari soal di atas adalah: 2010! -1

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Akhirnya sudah 5 hari saya begadang membuat posting ini.. Banyak dari langkah-langkah di atas yang di-reduce karena saya malas membuat gambar latex.. (setiap gambar butuh perjuangan.. >_<).. Masih banyak soal-soal deret yang lainnya (yang tentunya lebih sulit..). Semoga materi di atas dapat membantu memberi gambaran mengenai summations dan products. Yang penting kita mau belajar. ^^.. Jika ada posting yang salah, mohon diberi tahu. Saya buatnya buru-buru.

Sumber: Elementary Number Theory (Kenneth H Rosen), Olimpiade Matematika SMA (Suwah Semibiring), Olimpiade Matematika ALJABAR DAN BILANGAN (Bambang Susianto).