What's the content of this blog

Composition: Mathematics, my favourite lesson 90%. Mathematics Software 3%, My Life and Experience 3%, and Others 4%..
-- Here we can share knowledge --
-- Enjoy --

Sunday, October 26, 2008

Dasar Teorema Binomial

Apa itu teorema binomial? Lalu, jika kalian sudah tahu, bisakah kalian mengerjakan soal-soal di bawah ini?

1. Ekspansikan
2. Berapakah suku keenam dari ekspansi
3. Berapakah suku yang mengandung dari ekspansi
4. Berapakah koefisien suku dari ekspansi

Bahasan mengenai teorema binomial di sini tidaklah sulit. Saya sendiri hanya tahu dasarnya saja.
Nah, karena kita saling belajar, makanya kalo ada yang ingin sharing silakan... ^^
Baca lanjutannya di bawah.
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Preface
Segitiga Pascal dan Kombinasi

Sebetulnya, dapat ditemukan dari perkalian secara langsung. Dengan mudah, kita bisa mengekspansikan , , dan selanjutnya seperti di bawah karena pangkatnya cukup kecil.
=
=
= =
= =

Perhatikan pola dari suku-suku . Pasti selalu dimulai dari suku . (Ini sebetulnya merupakan perjanjian saja). Lalu, suku berikutnya, pangkat dari a akan berkurang 1, namun pangkat dari b akan naik sebesar 1. Jadi, dapat dideskripsikan sebagai berikut.
= .+ . + . + ... + . + ..
Lalu, untuk menentukan koefisien (c) tiap suku kita dapat menggunakan segitiga Pascal.
_____________________1
__________________1______1_____________==> koefisien untuk
_______________1_____2______1__________==> koefisien untuk
_____________1____3_____3______1________==> koefisien untuk
___________1___4_____6______4____1______==> koefisien untuk _________1___5____10____10_____5____1___==> koefisien untuk
______1____6___15____20_____15____6___1_ ==> koefisien untuk
Namun, cara di atas hanya dipakai untuk pangkat yang kecil (sedikit). Sulit untuk menjabarkan segitiga Pascal untuk baris yang sangat banyak (untuk pangkat yang besar). Jadi, kita gunakan kombinasi. Cara untuk mengekspansikan dengan kombinasi inilah yang disebut teorema binomial.

Hubungan kombinasi dengan teorema binomial
Perhatikan ilustrasi berikut. Dalam aljabar, kita tahu bahwa
= .
Penjabaran dari merupakan perkalian dari 3 faktor.
=
Lalu, kita pilih bagian yang ingin kita kalikan dari ketiga faktor itu. Misalnya, jika kita memilih a dari setiap faktor dan mengalikannya, maka kita peroleh aaa. Jika kita memilih a dari faktor pertama, a dari faktor kedua dan b dari faktor ketiga kemudian mengalikannya, maka kita peroleh aab, dan seterusnya. Sehingga semua kemungkinan pemilihan baik a maupun b dari masing-masing faktor adalah
aaa; aab; aba; abb; baa; bab; bba; bbb
Jika dikalikan menjadi:
; ; ; ;; ; ;
Jika semua suku-suku diatas dijumlahkan, maka hasilnya adalah

Bilangan 3 yang merupakan koefisien dari muncul dari pemilihan a dari 2 faktor dan b dari 1 faktor sisanya. Hal ini bisa dilakukan dalam atau cara. Cara yang sama bisa dilakukan untuk memperoleh koefisien yang dalam hal ini merupakan pemilihan a dari 0 faktor dan b dari 3 faktor lainnya yang dapat dilakukan dalam atau cara, dan seterusnya.

Melalui hubungan kombinasi dengan teorema binomial, maka kita dapat merumuskan ulang rumus teorema binomial sebagai berikut:
=

atau

=
Kedua rumus di atas identik. Hanya beda penulisan simbol C saja. ^^

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Bagian II
Latihan

Mungkin ini adalah bagian yang ditunggu-tunggu.. Kalau tidak latihan, tidak mungkin jago. Betul? ^^
1. Ekspansikan
Jawab:
Jika memakai cara rumit, bisa saja kita menghitung dengan cara mengalikan sebanyak 6 kali. Tapi, karena rumit, kita gunakan teorema binomial.
= . + . + . + . + . + . + .
Ingat bahwa:
= . + . + . + . + . + . + .
______= + 6 + 15. + 20. + 15. + 6. +
Perhatikan sifat-sfat yang timbul dari penjabaran tersebut:
1. Banyaknya suku adalah (n+1) = 6+1 = 7.
2. Jumlah dari eksponen a dan b dalam setiap suku adalah n.

2. Ekspansikan
Jawab:
Tidak berbeda jauh dengan soal sebelumnya.
Jika memakai simbol , anggap a = , b = , dan n=5.
= .+ . .+ ..+ ..+ ..+
______ = + 5.2.+ 10.4.+ 10.8.+ 5.16.+ 32
______ = + 10+ 40+ 80+ 80+ 32

3. Ekspansikan
Jawab:
Soal di atas, tak jauh berbeda dengan soal nomor 2... <==males bikin soal. Jika memakai simbol , anggap a = , b = , dan n=5.
=+++++
______ = 5.2.+ 10.4. 10.8.+ 5.16. 32
______ = 10+ 40 80+ 80 32

Perhatikan jawaban di atas. Ternyata menghasilkan suku-suku ganjil dan genap secara berseling.

4. Berapakah suku keenam dari ekspansi
Jawab:
Suku keenamnya =
Suku keenamnya =
Suku keenamnya = 3.7.6.
Suku keenamnya =
5. Berapakah suku ke-4 dari ekspansi
Jawab:
Suku ke-4=
Suku ke-4=
Suku ke-4=
Suku ke-4=

6. Berapakah suku ke-7 dari ekspansi
Jawab:
Karena pangkatnya 5, maka jumlah sukunya hanya ada = 5+1 = 6.
Jadi, tidak memiliki suku ke-7.

7. Berapakah suku yang mengandung dari ekspansi
Jawab:
Ini hanya soal jebakan. Pangkat terkecil hasil penjabaran adalah .
Jadi, ekspansi tidak memiliki suku yang mengandung .

8. Berapakah koefisien suku yang mengandung dari ekspansi
Jawab:
Kombinasi yang mungkin untuk adalah:
= dimana p+q = 10
Note: Di atas, koefisien tidak berpengaruh dalam pembentukan . Jadi dapat dihilangkan..
(i)... p + 3q = 14 dimana p+q = 10 ...(ii)
Dari 2 persamaan tersebut, gunakan eliminasi/substitusi biasa, sehingga didapat
q = 2 dan p = 8
Karena q=2, maka dari sini kita tahu bahwa suku yang dicari adalah suku ke(2+1)=3.
Kita memilih q (bukan p) karena q merupakan eksponen b dari yang langsung menunjuk ke suku mana penjabaran itu didapat.

Suku ke-3=
Suku ke-3= .4.
Suku ke-3= 180
Berarti koefisien suku yang mengandung dari ekspansi = 180.
9. Berapakah koefisien suku yang mengandung dalam ekspansi
Jawab:
(Soal ini hanya untuk memperjelas soal di sebelumnya saja)
terbentuk dari kombinasi antara dan .
= dimana p+q =14
= dimana p+q =14
(i)... p + 2q = 4 dimana p+q =14 ...(ii)

Setelah kedua persamaan disubstutusi/ di eliminasi, maka didapat
p = 8 dan q=6
q menunjuk (elemen kedua dalam ).
q = 6. Berarti, kita harus mencari suku ke-(6+1) = 7

Suku ke-7 =
Suku ke-7 =
Suku ke-7 =

10. Tentukan koefisien dari dalam ekspansi
Jawab:
Asumsikan kejadian ini sebagai 3 aktivitas. Pertama memilih a dari 2 faktor diantara 11 faktor yang bisa dilakukan dalam cara. Kedua, memilih b dari 3 faktor diantara 9 faktor yang bisa dilakukan dalam cara. Ketiga, memilih c dari 6 faktor diantara 6 faktor sisanya yang bisa dilakukan dalam cara. Jadi, jika semuanya dikalikan, maka koefisien untuk didapat.

Koefisien untuk = = 4620

11. Berapakah koefisien suku dari ekspansi
Jawab:
Seperti soal sebelumnya, namun di sini hanya ada 1 variabel, yaitu x. Artinya, akan ada banyak kemungkinan yang timbul.
Logika memecahkan soal ini mirip seperti soal nomor 8 atau 9. Pertama, kita temukan terlebih dahulu kombinasi yang mungkin untuk membentuk .

Kombinasi yang mungkin untuk membentuk :
= k. dimana
Di sini, nilai p dapat ditentukan paling akhir (karena 1^p = 1).
Maka, kedua persamaan sekarang menjadi:
(i)... 5q + 9r = 23 dimana ... (ii)
Karena nilai q dan harus bulat positif, kita dapat dengan mudah menyelesaikan persamaan 5q + 9r = 23 dengan menggunakan cara persamaan linear diophantine atau cara coba-coba. Setelah dikerjakan dengan cara coba-coba, maka didapat hasilnya
q = 1 dan r = 2. Maka, p = 100-2-1 = 97.
5 x 1 + 9 x 2 = 23

Maka, suku yg mengandung =
_______________________=
_______________________= 49
Jadi, koefisiennya adalah 49.

12. Tentukan koefisien suku yang mengandung dalam ekspansi
Jawab:
Cara mengerjakan soal ini sama seperti sebelumnya. Pertama, tentukan terlebih dahulu kombinasi yang mungkin untuk .
= di mana p+q+r = 15
-p + q + 2r = 5 di mana p+q+r = 15
Ada 2 persamaan yang diperoleh:
2r + q - p = 5 ... (i)
p+q+r = 15 ... (ii)

Kita harus berusaha mendapatkan pasangan p,q,dan r yang memenuhi kedua kendala itu. Bisa dengan menggunakan persamaan linear diophantine atau coba-coba. Di sini, kita gunakan cara coba-coba.

Pertama, ubah persamaan (ii) menjadi p = 15-q-r lalu substitusikan ke persamaan (i)
2r + q - (15-q-r) = 5
3r + 2q = 20
Karena nilai r dan q harus positif, maka . Lalu, perhatikan bahwa 2q dan 20 adalah bilangan genap, maka 3r juga haruslah genap. Jadi, kita sekarang mendapatkan 4 kemungkinan r, yaitu 0, 2, 4, dan 6.
Jika r = 0 ==> q = 10 ==> p=5
Jika r = 2 ==> q = 7 ==> p=6
Jika r = 4 ==> q = 4 ==> p=7
Jika r = 6 ==> q = 1 ==> p=8
Jadi, jumlah suku yang mengandung = + + + = (3003 + 180180 + 450450 + 5014 ) = 638647

Jadi, koefisiennya adalah 638647.. (Maap angkanya jelek)

13. Tentukan nilai dari
Jawab:
Ingat teorema binomial bahwa:
=
Jika kita mensubstitusikan a =1 dan b =1, maka hasilnya menjadi berikut:
=
=

Jika kita mensubstitusikan n=2009, maka jawaban dari soal akan diperoleh.
=

14. Jika
A = banyaknya suku dari ekspansi
B = banyaknya suku dari ekspansi
Maka, berapakah selisih A dan B?
Jawab:
Banyaknya suku dari ekspansi adalah .
Di rumus di atas, n adalah pangkat, sedangkan v adalah jumlah variabel.
== Di sini, tidak akan dijelaskan penurunan rumusnya. Alasannya, karena saya sendiri baru dapet rumus itu secara tidak sengaja pas ngerjain soal beginian.. Tapi, aku yakin, rumus ini sudah ditemukan dari dulu-dulu.. Ada yang bisa menurunkannya? ==

memiliki v = 4 dan n=6, maka
A = = 84.

memiliki v=5 dan n=4, maka
B = = 70.

Maka, A - B = 84 - 70 = 14.
Artinya, memiliki suku lebih banyak daripada .

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Sekian dulu deh perjumpaan kita kali ini... Tangankuw udah mo pegel bikin gambar latex yang begitu banyak secara manual (diupload ke blogger).. Maap kalo ada yang salah ketik.. Kalo ada yang salah, kasih tw yach.. Aku juga bwtnya buru2 jadi, banyak langkah yang di-skip..

Lihat juga posting berjudul identitas kombinatorial.

Ada yang mw bertanya? Silakan! Aku ngak gigit... ^^
Sumber: elearning.unej.ac.id, Schaum's Outline, dan otakkuw..

18 comments:

  1. bener-bener kunang-kunang nihhhhh.. soalnya sampe no 10 ngerti, abis itu... (gigit jari)

    ReplyDelete
    Replies
    1. This comment has been removed by the author.

      Delete
  2. Temenkuw yang kuliah aja lom tentu ngerti dalam sehari koq...

    Sebetulnya, mungkin saja aku juga gak akan ngerti.. Tapi, aku ada motivasi. Motivasiku yaitu untuk memposting bahan di blog ini... Jadi, aku sangat semangat untuk belajar yang baru dan menantang.. ^^

    ReplyDelete
  3. in tne name of jesus i understand this lesson

    ReplyDelete
  4. THANKS YABCH..RUMUS KAMU NGEBANTU BUANGET..HIKS

    ReplyDelete
  5. Mau tanya dong, kalo misalkan itu variabelnya berbeda misalnya: Berapakah koefisien suku yang mengandung X^2y dalam ekspansi (X+Y) pangkat 3, apa caranya sama atau beda? thx

    ReplyDelete
  6. kalo yg dicari suku tengah atau suku bebas,gmn bos?

    ReplyDelete
  7. bntuin dund,, klu soalnya
    (n/0)+(n/2)+(n/4)+... = (n/1)+(n/3)+(n/5)+...=2^(n-1)

    gmna?? thx sblm'y...

    ReplyDelete
  8. mksd'y suruh di buktikan.. saya bingung..!

    ReplyDelete
  9. @dian:
    Ingat bahwa (a+b)^n = nC0 a^n + nC1 a^(n-1) b +... + nCn-1 a b^(n-1) + nCn b^n.

    Ganti a=1 dan b=1, maka didapat (1+1)^n = 2^n = nC0 + nC1 + nC2 +... + nCn-1 + nCn

    Ganti a=1, dan b=-1, maka didapat (1-1)^n = 0 = nC0 - nC1 + nC2 -.... ===> Maka nC0 + nC2 + nC4 + ... = nC1 + nC3 + nC5 +...

    Karena Jumlah semuanya 2^n dan jumlah kedua bagiannya sama, tinggal dibagi 2. Maka:

    nC0 + nC2 + nC4 + ... = nC1 + nC3 + nC5 +... = 2^(n-1)

    ReplyDelete
    Replies
    1. Dibagi 2 gimana? Gak ngerti...
      Tolong bantuannya

      Delete
  10. jika k dan r bilangan asli dengan k lebih besar atau sama dengan r, maka:
    a. (k/0)+(k+1/1)+(k+2/2)+(k+3/3)+...+(k+r/r)= (k+r+1/r)
    b. (k/k)+(k+1/k)+(k+2/k)+(k+3/k)+...+(k+r/k)=(k+r+1/k+1)
    gmn cara membuktikannya? membingungkan.

    ReplyDelete
  11. msalnya soalnya p^4-q^4.. trus penjabarannya tuh:
    p^4-P^3q+p^2q^2-pq^3+q^4 atau:
    p^4+P^3q-p^2q^2+pq^3-q^4
    beda tandanya.. mhon bantuannya.. thx

    ReplyDelete
  12. kl soal pangkat bil asli gmn(nyelesainnya) kk?

    ReplyDelete
  13. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  14. Kenapa sih a sama b harus diganti 1? Misalnya utk menentukan koefisien dari semua suku (x + 2y)^2000 itu gimana?

    ReplyDelete
  15. adminnya hebat.. trims2.. membantu skli

    ReplyDelete
  16. sangat membantu, terimakasih

    ReplyDelete