What's the content of this blog

Composition: Mathematics, my favourite lesson 90%. Mathematics Software 3%, My Life and Experience 3%, and Others 4%..
-- Here we can share knowledge --
-- Enjoy --

Monday, December 15, 2008

Bukti: Persamaan euler. ^^

Ini adalah materi lanjutan dari "Bilangan Kompleks...(ii) {Dalil De Moivre}"... Mohon dilihat kembali untuk lebih jelasnya.. ^^.. Dan ini mungkin bisa dikatakan sebagai materi yang rumit bagi kebanyakan mahasiswa di universitasku.. Namun sesungguhnya, kita tidak perlu menjadi profesor untuk membuktikan rumus *dewa* ini, karena bukti itu sekarang sudah jelas di depan mata, dan lagi *bukti ini cukup mudah diturunkan*!!


Sekali lagi, saya ingatkan.. Jangan kaget bahwa ternyata pembuktian rumus ini sangatlah mudah.. ^^

=========================================================================
PROOF

Bukti ini banyak makan tempat.. Oleh karena itu, saya menggunakan banyak singkatan atau permisalan:


Ingat konsep awal euler bahwa:

Dengan melihat konsep itu, cobalah untuk menguraikan bentuk .
= =
Ingat-ingat kembali.. z jika dinotasikan dalam polar adalah sebagai berikut.
z = [mod.(z)] . cis[arg(z)]
Lalu, ingatlah dalil De Moivre yang bunyinya berikut.

Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa:

Kita tulis ulang dalam bentuk x dan y, maka menjadi:

Lanjuutt. Tadi, kita sudah sampai sini...
=
Kita beri notasi mod. untuk kedua ruas.
= = =
Kita dapatkan persamaan berikut:
= <----- diambil dari ruas paling kiri dan kanan. Lalu, kita buat n mendekati tak hingga (agar bisa sesuai dengan konsep awal, konsep euler).
====
Oleh karena itu:
= <----- diambil dari ruas paling kiri dan kanan. Jika ditulis ulang menjadi:


Ingat-ingat kembali.. z jika dinotasikan dalam polar adalah sebagai berikut.
z = [mod.(z)] . cis[arg(z)]
Lalu, ingatlah dalil De Moivre yang bunyinya berikut.

Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa:

Kita tulis ulang dalam bentuk x dan y, maka menjadi:


Nah, kita kembali ke persamaan awal, yaitu persamaan di bawah:
=
Kita beri notasi arg. untuk kedua ruas.
= =
Kita dapatkan persamaan berikut:
= <---------- diambil dari ruas paling kiri dan kanan.. Dekati n hingga tak terhingga (agar sesuai dengan konsep awal, konsep euler). = = =
Oleh karena itu:
= <----- diambil ruas yang paling kiri dan kanan. Jika ditulis ulang menjadi:

Kita sudah mendapatkan dan . Selanjutnya, kita kembali ke konsep awal.


Substitusikan dan , maka menjadi:
Terbukti

=========================================================================
KEADAAN KHUSUS
Jika x=0, maka persamaan eulernya menjadi:


Seandainya y positif, maka: ... (i)
Seandainya y negatif, maka: ... (ii)
Lalu, kita lakukan operasi penjumlahan atau pengurangan pada kedua persamaan:

Dari eliminasi tersebut menghasilkan 2 identitas berikut:
*)
*)
=========================================================================
Ternyata, pembuktian persamaan euler ini cukup mudah.. Hanya memakai konsep limit saja sudah cukup. Tidak perlu mengunakan pengintegralan dan sebagainya...

Btw, ada yang mo nanya gakk?? ayo.. ayoo.. nanya.. mumpung gratisss.. ^^

Lihat juga lanjutan post ini: Variabel Kompleks(iv){Review}.. ^^

Sumber: Kalkulus I (Wikaria Gazali), dosen tercinta di Universitas Bina Nusantara

9 comments:

  1. Saya sudah pelajari pembuktiannya!
    namun yang ingin saya tanyakan? persamaan euler digunakan untuk apa??

    tharash_ganteng@yahoo.com

    ReplyDelete
  2. @tharash_ganteng_banget: persamaan euler itu gunanya banyak (tapi, aku juga ngak ngerti banyak kegunaannya sich :P).. Tapi, coba masukkan x=0, kemudian:
    masukkan y=1 (ini adalah persamaan satu)
    masukkan y=-1 (ini adalah persamaan dua)
    Jika kita jumlahkan persamaan 1 dan 2, maka kita akan mendapatkan identitas cos. Jika kita kurangkan, maka kita akan dapat identitas sin.

    cos y = (e^{yi}+e^{-yi})/2
    sin y = (e^{yi}-e^{-yi})/(2i)

    Ternyata, sin dan cos dapat ditransformasikan ke dalam bentuk euler..!! Selanjutnya, bentuk itulah yang sering digunakan dalam pembuktian transformasi laplace.. Transformasi laplace sendiri gunanya banyak, misalnya dalam pen-decode gelombang radio.. ^^

    ReplyDelete
  3. Mau tanya teknis.. Gmana sih nulis simbol matematika d blog? Biar gampang..

    Harus insert image aja gitu?

    Ada cara lain yg lebih mudah ga?

    ReplyDelete
  4. @asepsafulum:
    Mas bisa pake latex code untuk insert persamaan matematika, caranya gampang koq. bisa di search di internet

    ReplyDelete
  5. Semangat Blogger !!
    Indonesia Bisa !

    ReplyDelete
  6. kalo persamaan euler buat perhitungan baja gimana tuh????

    ReplyDelete
  7. Bagaimanakah susunan Hamiltonian dari U_{t}=\int_{t=0}^{\infty}e^{-pt}(\gamma lnc_t+(1-\gamma)lnm_t)dt

    dan FOCnya (first order necessary condition

    ReplyDelete
  8. dan dengan FOCnya diatas, bagaimanakah persamaan Eulernya? Makasih, rumit banget ya

    ReplyDelete
  9. mas kalau rumus euler dibuktikan dengan deret taylor bisa juga kan?

    ReplyDelete