What's the content of this blog

Composition: Mathematics, my favourite lesson 90%. Mathematics Software 3%, My Life and Experience 3%, and Others 4%..
-- Here we can share knowledge --
-- Enjoy --

Sunday, December 7, 2008

Mengenal Bilangan Kompleks

Bilangan Bulat? Itu sudah biasa.. Kalau bilangan bulat dikembangkan lebih luas maka bilangan bulat itu masuk di himpunan bilangan rasional. Nah, bilangan rasional dan irasional itu termasuk dalam rumpun bilangan REAL. Lalu, gabungan antara himpunan REAL dan IMAJINER adalah himpunan BILANGAN KOMPLEKS.


Lingkaran yang paling besar itu menunjukkan himpunan bilangan kompleks, memperlihatkan betapa luasnya himpunan bilangan kompleks. Hmm.. Di post ini, kita akan mengenal bilangan kompleks. Tapi, hanya dasarnya saja. Untuk pengembangan lebih lanjut, akan kupost kapan2.. hahaha.. XD

=========================================================================
BAGIAN I
DEFINISI BILANGAN KOMPLEKS

Dari prakata di atas, kita tahu bahwa bilangan kompleks adalah gabungan antara bilangan Real dengan bilangan Imajiner.

Sekilas tentang bilangan imajiner.
Bilangan imajiner adalah bilangan yang merupakan akar kuadrat dari suatu bilangan negatif. Misalnya, , , , dan masih banyak lagi..
Lalu, di sini kita akan berurusan dengan bilangan . Kita definisikan bahwa = , maka:
Oleh karena itu, dapat kita tulis juga menjadi , maka dapat ditulis sebagai .

Banyak sekali orang yang keliru mengoperasikan bilangan imajiner.
Misalnya: = = = 5. (ini salah!!)
Seharusnya: = = 5. = (1).5 = 5
Untuk menghindari kesalahan, selalu konversikan bilangan imajiner ke dalam bentuk (ini dinamakan sebagai bentuk standar). ^^

Simbol mempunyai sifat = = 1. Untuk pangkat yang lebih tinggi, kita tinggal ngotak-ngatik. = = . Lalu, = = 1. Untuk seterusnya, silakan dicoba sendiri. ^^. Not difficult.

NOTASI
Bilangan kompleks (z) terdiri dari gabungan bilangan Real dan Imajiner. Oleh karena itu, dapat kita notasikan dengan hubungan penjumlahan.
z = x + y
Notasi di atas menunjukkan bahwa x adalah bagian REAL, sedangkan y adalah bagian imajiner murni. Bilangan x dan y, keduanya adalah bilangan REAL.

Himpunan bilangan kompleks digambarkan pada bidang kompleks, dan suatu bilangan kompleks digambarkan dengan sebuah titik pada bidang kompleks. (Lebih mudahnya, ini seperti menggambar titik pada koordinat x dan y, di mana x merupakan bagian REAL, sedangkan y adalah bagian IMAJINER.)

Langsung saja kita ke contoh pemahaman.. Daripada nanti kebingungan.. ^^

Contoh Soal 1:
Ada 4 bilangan kompleks yang disimbolkan z1, z2, z3, dan z4.
z1 = 3 + 6.
z2 = -3+2.
z3 = -2-2.
z4 = 4 - 3.
Gambarkan titik-titik z1, z2, z3, dan z4 di bidang kompleks!

Jawab:
Kita buat koordinat x dan y, di mana z=x + y. 4 titik itu digambar sebagai berikut.


Contoh Soal 2:

Suatu bilangan kompleks z dinotasikan sebagai z = (x + y).
Jika z = , tentukan x dan y. Lalu, gambarkan z dalam bidang kompleks!

Jawab:
Bentuk z diubah dulu atau disederhanakan.. ^^
z =
z =
z =
z =
z =
Nah, di sini didapat bahwa x=5 dan y = .
Ini adalah lokasi titik z di bidang kompleks:

Titik yang berwarna merah adalah titik yang dimaksud. ^^

Contoh Soal 3 (pemahaman):
Bisakah kamu memberi contoh bilangan yang bukan bilangan kompleks?

Jawab:
Bilangan yang bukan kompleks adalah bilangan yang mengandung bilangan yang tidak imajiner dan tidak real juga.. Misalnya , , dan masih banyak lagi.. Tapi, ini yang masih menjadi kendala.. Apakah , , dan sebagainya itu masih bisa disebut bilangan?? Sejauh saya belajar, tak pernah ada pembahasan mengenai bilangan nonkompleks...

Contoh Soal 4 (pemahaman):
Suatu bilangan kompleks z dinotasikan sebagai z = (x + y).
Tentukan nilai x dan y dari bilangan:
(i) 0
(ii)5
(iii)

Jawab:
(i) 0 = 0+ o. Jadi, x=0 dan y=0.
(ii) 5 = 5+0. Jadi, x=5 dan y=0.
(iii) = 0+ . Jadi, x=0 dan y=.

Contoh Soal 5:
Jika z1 = z2 = z3.
z1 = c + a.
z2 = b + 2c.
z3 = a+2 - d.
Tentukan a, b, c, d dan z1, z2, dan z3!

Jawab:
Di sini, kita harus tahu bahwa 2 bilangan kompleks p + q dan r+s dikatakan sama jika dan hanya jika p = r DAN q = s.

Oleh karena itu, kita tinggal menghubung-hubungkan koefisiennya.. ^^
z1 = z2 = z3
c + a = b + 2c = a+2 - d.
c = b = a+2 ... (i)
a = 2c = -d ... (ii)

c= a+2
Substitusikan nilai c ke persamaan 2
a = 2(a+2)
a = 2a + 4
a = -4
Secara otomatis, kita dapatkan nilai d = 4. c=-2. b = -2. (Substitusi biasa)

Kita dapatkan z1 = z2 = z3 = c + a = -2 -4.

=========================================================================
BAGIAN II
OPERASI BILANGAN KOMPLEKS

Di sini akan dijelaskan operasi bilangan kompleks yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.. Langsung ke contoh soal.

Contoh Soal 6 (penjumlahan):
(3+2)+(-2+7) =....
Jawab:
(3+2)+(-2+7) = 3 + 2 -2 + 7 = 1 + 9.

Contoh Soal 7 (pengurangan):
(2-3)-(8-2)=....
Jawab:
Dikerjakan sama seperti penjumlahan..
(2-3)-(8-2) = 2 -3 -8 +2 = -6 -.

Contoh Soal 8 (perkalian):
(3+4)(2-5) = ....
Jawab:
Lakukan perkalian biasa terlebih dahulu.
(3+4)(2-5) = 6 -15 + 8 -20.
Lalu ubah menjadi 1.
(3+4)(2-5) = 6 -15 + 8 +20 = 26 -7.

Contoh Soal 9 (pembagian):
= ....
Jawab:
Lihat bagian penyebut, yaitu 3+4i. Maka, sekawan/konjugatnya adalah 3-4i. Kalikan bilangan konjugat ini di pembilang dan penyebut.. (lihat langkah di bawah).
=
====-=
====-=
====-=
====-=

Contoh Soal 10 (pemangkatan Sederhana):
Jika z = 3-. Tentukan .
Jawab:
Hasil dari pemangkatan dapat diselesaikan dengan dalil De Moivre. Namun, karena kita belum belajar hal itu, kita akan mengalikannya secara biasa.
= (3-)(3-)(3-) = (9-6-1)(3-)=(8-6)(3-)=24-8-18-6=18-27.

=========================================================================
Note: bilangan kompleks jika digunakan di koordinat polar dapat menjadi sangat fleksibel dan *luar biasa*.. Di sini, akan muncul "Dalil Moivre" juga. Rumus-rumus euler dapat diturunkan dari definisi bilangan kompleks di koordinat polar.

Namun, karena hari sudah malam dan ikan sudah bobo (~.~"), post ini diakhiri sampai sini dulu. Baca lanjutannya mengenai "Bilangan Kompleks ...(ii) Dalil De Moivre".. ^^

Sumber: Kalkulus I (Wikaria Gazali, dosen tercinta di Universitas Bina Nusantara). Penerbit: Graha Ilmu, Schaum Outline: Matematika Universitas.

31 comments:

  1. Begini... kalo ada bilangan kompleks z, lalu P menggambarkan posisi z pada diagram argand. Misalkan z memenuhi [z-4]=6 (*[] maksudnya mutlak). Kan berarti P-nya itu lingkaran dengan pusat (4,0) dengan jari-jari 6. Nah, yang mau kutanya adalah...lingkaran itu tuh namanya P atau z-4 ?

    ReplyDelete
  2. Modulus nya 6
    |z-4|=6
    |x-4+yi| = 6
    Akar((x-4)^2+y^2) = 6
    ==> lingkaran dengan pusat (4,0) dan r=6
    ==> u/ memastikan... :P

    Karena P merupakan gambaran dari z-4, maka jika kita mengatakan bahwa P itu lingkaran maka jelas benar. Dan sebaliknya pula, jika kita mengatakan lingkaran itu P maka juga benar, karena lingkaran dan P keduanya merupakan gambar.

    Apakah z-4 itu lingkaran? Jawabannya TIDAK. Lingkaran itu hanyalah GAMBARAN posisi z-4. Jadi, z-4 itu bukan lingkaran. Bagaimana kalo pertanyaannya dibalik? Apakah lingkaran itu z-4? Karena lingkaran itu merupakan gambaran dari z-4, sesungguhnya tidaklah salah jika kita mengatakan bahwa lingkaran itu z-4.. Namun, akan lebih baik jika dikatakan bahwa lingkaran itu adalah GAMBARAN POSISI dari z-4.

    Sebenarnya bukan masalah besar. Namun, saya punya pertanyaan yang serupa: Jika saya berteman dengan A dan A berteman dengan B, maka apakah B berteman dengan A atau dengan saya?

    Merupakan hubungan yang tidak langsung.. ^^
    Ada pendapat lain?

    ReplyDelete
  3. ada soal-soal sama pembahasan kalkulus 2 ga??kalo ada publish donk.......

    ReplyDelete
  4. Kalkulus 2 itu tentang apa ya? Tentang pers diferensial atau tentang deret fourier atau Laplace.???

    Yang pasti, materi itu buanyak banget n susah banget diposting di blog.. Mungkin kalo ada, kapan-kapan bakal dipost (kalau ada waktu kurang lebih 1 tahun untuk bisa membahas tuntas).. ~_~

    ReplyDelete
  5. (cos3x+i sin3x)^5(cos4x-i sin4x)^4
    -----------------------------------
    (cos5x-i sin5x)^3(cos6x+i sin6x)^2

    penyederhanaannya gmn?

    ReplyDelete
  6. (cos3x+i sin3x)^5(cos4x-i sin4x)^4
    ----------------------------------------
    (cos5x-i sin5x)^3(cos6x+i sin6x)^2

    Kita ubah ke dalam bentuk polar.

    (cis 3x)^5(cis (-4x))^4
    -------------------------------
    (cis (-5x))^3(cis 6x)^2

    Ingat hukum pemangkatan moivre
    (cis 15x)(cis (-16x))
    -------------------------------
    (cis (-15x))(cis 12x)

    Ingat hukum untuk perkalian bilangan kompleks dalam polar.

    (cis (15x - 16x))
    ------------------------
    (cis (-15x + 12x))

    (cis (-x))
    ------------------------
    (cis (-3x))

    Ingat hukum untuk pembagian bilangan kompleks dalam polar.

    cis (-x -(-3x)
    cis 2x

    Done.

    ReplyDelete
  7. Menarik nih mas tentang bilangan kompleks, sy pny software konversinya gratis di blog karedok sy. Kalo sempat mampir dan tolong dikoreksi

    ReplyDelete
  8. pembuktian cos 2x = cos^2 X - sin^2 x menggunakan dalil de moivre bagaimana? makasih...

    ReplyDelete
  9. bilangan imajiner diubah dalam bahasa c++ susah

    ReplyDelete
  10. WAW kk2 smua master MATH smua...........
    keren........!!!!!! :I

    ReplyDelete
  11. ijin copy paste ya. mau diprint buat belajar.

    ReplyDelete
  12. hhhhhhhhhhhhhhaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa binguuuuuuuuuuuuuuuuunnnnnnnnnnggggggggggg

    ReplyDelete
  13. IJIN MAU DPRINT NE,... trims bgt...

    ReplyDelete
  14. kalu menghitung bilangan komplex dalam akar gimana ya .. misal akar kuadrat dari 3 + 4i
    tx

    ReplyDelete
  15. waooo... blok yang keren.. makasih ya.. blog ini pasti menolong nilai fungsi kompleksku...^^

    ReplyDelete
  16. kerrrrrrrren makasih ingkatin lagi ya broooo gue suka blog ini

    ReplyDelete
  17. Materi ini persis sama yang ada di lks yang dibuat sama guru saya. Sampe contoh2 soalnya juga. Contoh soal disini jadi latihan soal. Terimakasih atas bantuan mengerjakan tugas saya:) tapi saya masih kurang ngerti pembahasan contoh aoal 2..

    ReplyDelete
  18. istimewa.,.
    kuliah singkat.,. ane uda paham tentang bil. kompleks.,.
    aku kira seperti apa??
    eh ternyata seperti ini.,.hheeheh
    lanjut dalil de moivre.,.,.!!!!!!!
    makasih kakak,.,
    hidup mu bermanfaat bagi satu anak adam lagi.,. ^^

    ReplyDelete
  19. kalo bilangan kompleks dalam polinomial bagaimana????

    ReplyDelete
  20. izin copy pak guru, biar ilmunya bermanafaat

    ReplyDelete
  21. maksud dari grafik bilangan komplek tuh gmna siihh>>>> akuu bingung ><

    ReplyDelete
  22. maksud dari grafik bilangan komplek tuh gmna siihh>>>> akuu bingung ><

    ReplyDelete
  23. gan yang mana penjelasan persamaan bilangan komplek ????

    ReplyDelete
  24. bagaimana jika
    |z-3i|
    -------- = 2 bagaimana cara penyelesaiannya
    |z+2|

    ReplyDelete
  25. Replies
    1. ((1+i)^28)/((√(3-i))^25) bagaimana bentuk bakunya??dalam bab bilangan kompleks

      Delete
  26. Mohon bantuannya semua
    saya punya soal kalkulus yang belum paham nih. Tentang operasi aljabar bilangan kompleks bentuk kutub, soalnya seperti ini :
    Diketahui z1= 2(cos 30°+ i sin 30°) dan z2= 3(cos 60° + i sin 60°). Tentukanlah :
    A. z1 + z2
    B. z1 - z2
    C. z1 x z2
    D. z1 : z2

    Terima kasih atas bantuannya mas

    ReplyDelete
  27. kalau ada soal "tuliskan 2 bilangan kompleks yang bukan merupakan bilangan real" tentukan
    1. ubahlah kedua bilangan kompleks tersebut kedalam bentuk kutub.
    2. carilah hasil kali kedua bilangan tersebut
    3. carilah hasil bagi kedua bilangan tersebut
    4. cari akar pangkat 4 dari salah satu bilangan tersebut


    ada yang bisa bantu selesaiin soal itu??

    ReplyDelete
  28. mau tanya kalau misalnya mencari akar dari persamaan kuadrat misal az^2+bz+c=0 dengan a,b,c,z bilangan kompleks bagaimana ya?
    terimakasih

    ReplyDelete