Keterbagian oleh 7, 11, dan 13

Sebelumnya, saya kaget, setelah melihat suatu makalah yang dibuat oleh guru besar ITB, Andi Hakim Nasoetion. Ternyata ada cara untuk memeriksa apakah suatu bilangan dapat dibagi 7 dan 13 dengan suatu metode yang sangat mudah.

Ini juga merupakan sambungan dari posting-an sebelumnya mengenai divisibility (keterbagian).. Silakan di cek.. ^^

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Keterbagian oleh 7
Untuk bilangan yang tidak terlalu besar:

Untuk mengetahui apakah suatu bilangan habis terbagi 7, sisihkan angka satuannya dan kalikan 2 kemudian kurangkan dari bilangan yang tersisa. Kalau bilangan itu habis dibagi 7, maka seluruh bilangan habis dibagi 7.

Contoh Soal 1: Apakah 5236 habis dibagi 7?
Jawab:

5236 habis dibagi 7 kalau 523-2.6 = 511 habis dibagi 7. 511 habis dibagi 7 kalau 51-2.1=49 habis dibagi 7. 49 habis dibagi 7 karena itu 511 habis dibagi 7 dan 5236 juga habis dibagi 7.

Contoh Soal 2: Apakah 25252 habis dibagi 7.?
Jawab:

25252 habis dibagi 7 kalau 2525-2.2=2521 habis dibagi 7. 2521 habis dibagi 7 kalau 252-2.1=250 habis dibagi 7. 250 habis dibagi 7 kalau 25-2.0=25 habis dibagi 7. 25 bukan kelipatan 7 sehingga 250 tidak habis dibagi 7 dan oleh karena itu 2521 tidak habis dibagi 7 dan karena itu 25252 tidak habis dibagi 7.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Bukti Teorema Keterbagian Oleh 7:
Misalkan untuk mempermudah penulisan:
a = (anan-1an-2an-3an-4...a1a0). Contohnya: 123, maka an=1, an-1 = 2, dan a0=3
L = anan-1an-2...a1. Contohnya: 123, maka L=12.
A = L-2a0. Contohnya: 123, maka A=12-6=6.

Teorema ini mencakup istilah 'jika dan hanya jika' sehingga buktinya harus mencakup dua bagian. Pertama harus dibuktikan bahwa jika 7x a maka juga 7x A. Setelah itu harus dibuktikan bahwa jika 7x A maka juga 7x a. Bukti bagian pertama disebut pembuktian ke'perlu'an sedangkan pembuktian bagian kedua disebut pembuktian ke'cukup'an.

Bukti bagian Keperluan:
Artinya harus dibuktikan apabila a mod 7 = 0, maka A mod 7 =0 juga.
Seperti konsep di atas. Nyatakan bahwa: a = 10L+a0 dan A=L-2a0.
Anggap bahwa
a mod 7 =0
(10 L+a0)mod 7 = 0.
(20L+2a0)mod 7 =0. (Jika dikali 2, maka modulo tetap berlaku)

Ingat bahwa (21L) mod 7 = 0, maka:
(21L+2a0-2a0)mod 7 =0
(20L+2a0+L-2a0)mod 7 =0
(20L+2a0)mod 7 + (L-2a0)mod 7 =0
(L-2a0)mod 7 =0. ----Terbukti

Bukti bagian Kecukupan:
Artinya harus dibuktikan apabila A mod 7 = 0, maka a mod 7 =0 juga.
Seperti konsep di atas. Nyatakan bahwa: a = 10L+a0 dan A=L-2a0.
Anggap bahwa:
A mod 7 = 0
(L -2a0) mod 7 =0
(10L-20a0)mod 7 = 0 (Jika dikali 10, maka modulo tetap berlaku)

Ingat bahwa (-21ao)mod 7 =0
(-20a0-a0)mod 7 =0
(10L-10L-20a0-a0)mod 7 =0
(10L-2a0-10L-a0)mod 7 =0
(10L-2a0)mod7-(10L+a0)mod7=0
-(10L+a0)mod7=0
(10L+a0)mod7=0. ----Terbukti

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Bukti Teorema Keterbagian oleh 11
Lihat kembali bagian divisibility (keterbagian) untuk contohnya.
Untuk ciri habis dibagi 11, perhatikanlah bahwa 10 = 11-1 sehingga:

a = an x 10ⁿ + an-1 x 10^n-1 + an-2 x 10^n-2 +... + a1 x 10¹ + a0 x 10⁰ dapat diubah penulisannya menjadi:
a = an x (11-1)ⁿ + an-1 x (11-1)^n-1 + an-2 x (11-1)^n-2 +... + a1 x (11-1)¹ + a0

Kemudian ingatlah penguraian binom Newton:

(a+b)ⁿ=[aⁿ+.a^n-1b¹+.a^n-2 b²+...+.a¹b^n-1]+ bⁿ yang dapat dipilah menjadi dua bagian. Bagian pertama yang pada persamaan di atas telah dikumpulkan di antara kurung-siku adalah kelipatan a sehingga habis dibagi a. Pada bagian ini, bagian yang tidak dapat dibagi a adalah bⁿ. Jadi, dapat ditulis sebagai berikut:
(a+b)ⁿ mod a = bⁿ. Lihat juga bahasan mengenai Modulo".

Yang perlu dibuktikan adalah jika a merupakan kelipatan 11, maka hasil jumlah tanda ganti digit-digitnya juga merupakan kelipatan 11.

Maka, anggap:
a mod 11 = 0.
{an x (11-1)ⁿ + an-1 x (11-1)^n-1 + an-2 x (11-1)^n-2 +... + a1 x (11-1)¹ + a0} mod 11 =0
____Ingat bahwa (a+b)ⁿ mod a = bⁿ maka (11-1)n mod 11 = (-1)n, maka:
{an(-1)ⁿ+ an-1(-1)^n-1+...+ an-2(-1)^n-2+...+a2(-1)²+a1(-1)¹+ a0} mod 11=0--Terbukti--

(Perhatikan bahwa (-1)ⁿ akan mengakibatkan setiap unsur ganjil dan genap akan bebeda tanda.)

Kesimpulan: Jika a merupakan kelipatan 11, maka hasil jumlah tanda ganti digit-digit dari a juga merupakan kelipatan 11.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Ciri Bersama Keterbagian Oleh 7, 11, 13

Sekarang akan dibahas suatu algoritma keterbagian yang berlaku sekaligus untuk 7, 11, dan 13 berdasar Jumlah-Silang Tanda-Ganti Ordo Ketiga. Perhatikan 1001 = 7 x 11 x 13.

Maka kenyataan ini dapat digunakan untuk menguji secara cepat apakah suatu bilangan, terutama suatu bilangan besar terbagi 7, 11, atau 13.

Contoh Soal 3: Apakah 1113112 dapat dibagi oleh 7?.
Jawab:
Maka dapat ditulis sebagai berikut:

1113112 = 1(10⁶) + 113(10³) + 112
1113112 = [1(1001000) - 1(1000)] + [113(1001) - 113] + 112
1113112 = [1(1001000) + 113(1001)] + [112 - 113 - 1(1001 - 1)]
1113112 = [1(1001000) + 113(1001) - 1(1001)] + [112 -113 + 1]

Besaran di antara kurungsiku pertama habis dibagi 7 karena 7x 1001. Dengan demikian, bagian di kurung suku kedua juga harus dapat dibagi 7.
112-113+1 = 0. Maka dapat habis dibagi 7.

Kesimpulan: Karena kedua isi kurung siku dapat dibagi 7, maka 1113112 juga dapat dibagi 7.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Saya sendiri baru tahu kalau ada aturan keterbagian terhadap 7.. Hmm.. Lumayan, blogging bisa dapet ilmu baruu.. ^^. Jujur, mula-mula memank sulit dipahami. Namun, entah mengapa sewaktu saya menulisnya di blog ini, semuanya jadi jelas..

Ada yang ingin ditanyakan.??? ^^