Tuesday, September 9, 2008

Bukti Luas segitiga: L=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}

Posted by hendry_dext

Lagi-lagi, bukti lagi.. Memank sih, bukti ini cukup rumit. Seringkali, orang lebih suka memakai rumus ini langsung daripada diturunkan dulu (sama seperti saya).. Hehehe..

Luas segitiga = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, di mana s=\frac{1}{2}(a+b+c)
Sering juga disebut sebagai Heron's Fromula atau formula/dalil Heron.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Bukti Rumus :
Perhatikan gambar berikut

t^2=t^2
b^2-x^2=a^2-(c-x)^2 (lihat segitiga ACD dengan segitiga BCD)
b^2-x^2=a^2-c^2+2cx-x^2
b^2-a^2+c^2=2cx
x=\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}... (i)

Perhatikan segitiga ACD:
t^2=b^2-x^2 ... (ii)
Substitusikan persamaan ke (i) ke (ii)
t^2=b^2-\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}\right)^2
t^2=\left(b-\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}\right)\left(b+\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}\right)
t^2=\left(\frac{2bc-b^2-c^2+a^2}{2c}\right)\left(\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2c}\right)
t^2=\left(\frac{a^2-(b-c)^2}{2c}\right)\left(\frac{(b+c)^2-a^2}{2c}\right)
t^2=\left(\frac{(a-b+c)(a+b-c)}{2c}\right)\left(\frac{(b+c-a)(b+c+a)}{2c}\right)
Anggap 2s = a+b+c, maka persamaan menjadi:
t^2=\frac{(2s-2b)(2s-2c)(2s-2a)(2s)}{4c^2}
t=\frac{2}{c}\sqrt{{s(s-a)(s-b)(s-c)}

Maka, kita sudah mendapatkan tinggi segitiga. Luas = (a.t)/2
\text{Luas} = \frac{1}{2}.c.t
\text{Luas} = \frac{1}{2}.c.\frac{2}{c}\sqrt{{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\text{Luas} =\sqrt{{s(s-a)(s-b)(s-c)} ------ Terbukti

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Dengan sedikit ketelitian, formula Heron itu akhirnya terbukti juga. Justru lebih udah mengingat rumus tersebut daripada penurunannya. So, lebih baik, rumus ini dihapal saja, coz guampang..

7 comments:

  1. AnonymousOctober 5, 2011 at 9:01 PM

    kata guru saya sebaiknya dipahami,om... jangan dihapal...

    ReplyDelete
    Replies
    1. OpanFebruary 20, 2013 at 8:25 PM

      Walaupun matematika itu perlu dipahami, bukan berarti kita gak boleh menghapal. Menghapal rumus itu perlu agar ketika kita membutuhkannya, gak perlu waktu yang lama.

      Delete
    2. AnonymousNovember 26, 2014 at 4:54 AM

      itu kan pembuktian supaya tau dari mana asal rumus, klo saat soal ya langsung pake aja

      Delete
  2. AnonymousMarch 3, 2012 at 8:09 AM

    koq bisa t^2=/frac {(2s-2b)(2s-2c)(2s-2a)(2s)}{4c^2}
    jadinya t=/frac{2}{c}/sqrt{{s(s-a)(s-b)(s-c)}}????
    disederhanain dari mana ya? koq ga ada 2 nya?

    ReplyDelete
  3. M45d4rMarch 29, 2012 at 12:50 PM

    Asslam Kok Gambar Rumus-rumusnya tdk bisa dibuka ya...Tolong dong kirimkan Rumusnya..trimakasih...

    ReplyDelete
  4. AnonymousJune 5, 2012 at 4:42 PM

    yg dipahami itu kan caranya kalo rumusnya ya dihapal buat menghemat waktu, masak kita harus membuat gambar seperti di atas sampe ketemu rumusnya kan lama banget sekalipun kita ngerti asal usul rumus di atas

    ReplyDelete

Subscribe to: Post Comments (Atom)