What's the content of this blog

Composition: Mathematics, my favourite lesson 90%. Mathematics Software 3%, My Life and Experience 3%, and Others 4%..
-- Here we can share knowledge --
-- Enjoy --

Friday, September 12, 2008

Deret Aritmatika Gauss ^^

Johann Carl Friedrich Gauss.. Mungkin tidak asing lagi terdengar di telinga kita. Gauss (1777-1855) adalah seorang matematikawan Jerman yang memberikan konstribusi besar dalam Matematika dan Fisika.

Mungkin ndak usah berlama-lama (cukup banyak cerita tentang Gauss di internet)... Langsung aja nieh ke contoh soal dan pembuktian sederhana.. Ini adalah satu soal yang berhasil dipecahkan oleh Gauss sejak dia masih kecil (duh, hobi banget yah dy ngutak-ngatik angka.. =.=")
Tentukan nilai dari 1+2+3+4+5+...+99+100.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Mungkin bagi yang sudah tau jawaban di atas: Caranya = (100+1)(100)/2=5050.
Nah, bagaimana cara membuktikannya.??

Begini.. Anggap barisan itu adalah tumpukan apel.. Mungkin, tidak perlu sampai 100. Tapi cukup sampai 4 tumpuk saja:
So, jika kita berhasil menemukan formula luasnya, maka otomatis kita bisa mengetahui jumlah seluruh apel. Maka, cari saja luasnya, maka rumus Gauss otomatis akan terbukti. Selesai..... =P

Gini, kalo masih lom ada yang jelas, gini penjabarannya:
Jumlah semua apel = Luas trapesium (perhatikan bentuk apel menyerupai trapesium)
_____________= \frac{1}{2}(\text{sisi bawah+sisi atas}).{\text{tinggi}}
_____________= \frac{1}{2}(4+1).{4}
_____________= 10 apel.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Makanya, rumus khusus untuk menghitung jumlah/total/Sn semuanya dalam barisan itu sebagai berikut:
S_n=\frac{n}{2}.(U_1+U_n)
di manaU_n=U_1+(n-1)d
Oh iya.. Alasan mengapa deret tersebut dinamakan aritmatika karena pertambahan suku ke suku berikutnya selalu tetap.. Mengapa disebut deret, kerena merupakan penjumlahan..
Contoh beda barisan dengan deret:
Barisan aritmatika: 1,2,3,4,5,6,7,...,100
Deret aritmatika: 1+2+3+4+5+6+7+...+100

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Tapi, ternyata, rumus itu bisa dikembangkan lebih lanjut menjadi:
(untuk )

Dan, karena U_n=U_1+(n-1)d, di mana d adalah difference dari tiap bilangan yang satu ke bilangan yang lain, maka rumusnya menjadi:
S_n=\frac{n}{2}[ 2U_1+(n-1)d ]

Sejujurnya, dua rumus di atas sangatlah tidak penting (karena jarang kugunakan). Jadi, bisa diskip.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Beberapa contoh soal yang berhubungan dengan barisan dan deret aritmatika yang modelnya aneh:

Contoh Soal 1:Hitunglah jumlah bilangan antara 1 dan 400 yang habis dibagi 5 tetapi tidak habis dibagi 7

Jawab:
S=Jumlah bil. kelipatan 5 - Jumlah bil. kelipatan 35
_= (5+10+15+...+395) - (35+70+...+385)
_= \frac{1}{2}.(\frac{395-5}{5}+1})(5+395) - \frac{1}{2}.(\frac{385-35}{35}+1})(35+385)
_= \frac{1}{2}.79.400 - \frac{1}{2}.11.420
_= 15800 - 2130
_= 13490.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Contoh Soal 2: Seutas tali dipotong-potong menjadi 14 bagian yang panjangnya membentuk barisan aritmatika. Jika tali yang terpanjang 21 cm dan bagian terpendek 4 cm, tentukan panjang tali semula.

Jawab:
S = \frac{1}{2}.14.(4+21) = 175 cm.
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Contoh Soal 3:Di antara bilangan 3 dan 99 disisipkan 15 buah bilangan sehingga bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk suatu barisan aritmatika. Cari beda barisan tersebut dan carilah jumlah deret aritmatika tersebut.

Jawab:
Logikanya, jika disisipkan 15 buah bilangan, maka renggang dari 3 sampai 99 ada (15+1)interval.
99 = 3 + 16d, maka d = 6. Jadi, bedanya adalah 6.
S = \frac{1}{2}.17.(3+99) = 17.51 = 867.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Contoh Soal 4:Jika (x+2), (2x+3), (5x-2) merupakan tiga suku pertama yang berurutan dari barisan aritmatika. Tentukan nilai x dan jumlah 20 suku pertama barisan tersebut!

Jawab:
d = d
(2x+3)-(x+2)=(5x-2)-(2x+3)
x+1 = 3x -5
2x = 6
x = 3

Maka
U1 = x + 2 = 5
d = (2x+3)-(x+2) = 9 - 5 = 4
U20 = 5 + 19.4 = 81

S20 = \frac{1}{2}.20.(5+81) = 10.86 = 860

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Contoh Soal 5: Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika adalah Sn=5n2-4n. Tentukan U10.

Jawab:
U10 = S10-S9 = 460 - 369 = 91

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Contoh Soal 6: Tiga bilangan membentuk deret aritmatika. Jumlah ketiga bilangan tersebut 42 dan hasil kalinya 1610. Tentukan ketiga bilangan tersebut.

Jawab:
U1+U2+U3 = 42
U2-d+U2+U2+d=42
3U2 = 42
U2 = 14

U1.U2.U3 = 1610
(14-d)14(14+d) = 1610
(14-d)(14+d) = 115
196 - d2 = 115
d = \pm9

Jika d=+9, barisannya adalah 5,14,23
Jika d=-9, barisannya adalah 23,14,5.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Postingan mengenai dasar "barisan dan deret aritmatika" selesai sampai di sini. Maap kalo ada yang salah tulis, krn aku ngerjainny buru-buru... =.="
Ada pertanyaan tdk.??

20 comments:

  1. suip, makasiih..broo

    ReplyDelete
  2. kak gimana cara mencari
    diketahui barisan arimatika suku pertamanya 27 dan bedanya adalah -4, tentukan lima suku pertamanya?

    ReplyDelete
  3. ?? @_@... Bukannya mudah ya?
    27 23 19 15 11.. Kyknya soalnya ada yang keputus tuh di baris pertama..

    ReplyDelete
  4. gimana cara menghitung cepat?
    berapa jumlah dr 1-2-3-4+5...+99-100?
    thx...

    ReplyDelete
  5. Mungkin yang dimaksud itu deret seling.
    Tapi, kenapa koef dari 3nya negatif? 0_o
    1-2-3-4+5...+99-100

    Mungkin seharusnya begini:
    1-2+3-4+5...+99-100

    Kalo mau cara cepat, maka hasilnya adalah -100/2 = -50.

    Caranya:
    (1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+...+(99-100)
    =-1-1-1-1-1-1-1-1 (sebanyak 50)
    = -50

    ReplyDelete
  6. thx..jawabanny ^.^
    (dikasih tau klu itu deret seling)
    kalau selain deret aritmatika bisa tanya gak. thx ^.^
    x^5+5x^4+3x+2-x^2+5x^4+9x-22, jadi x=?
    setelah jadinya
    x^5+10x^4+x^2+12X-20 trus gimana y?
    thx bgt.

    ReplyDelete
  7. apa selalu deret seling dibagi 2?
    thx..

    ReplyDelete
  8. @atas: deret seling gak harus dibagi 2. Dibagi 2 kalau soalnya modelnya persis seperti itu..

    @sebelumnya lagi:
    x^5+10x^4+x^2+12x-20.
    Wah. Bentar ya.. Aku mo ngerjain :D. Yang pasti untuk mengerjakan soal ini tidak ada rumus pastinya. Bisa menggunakan metode numerik atau dengan cara licik. :D

    ReplyDelete
  9. salut buat hendry_dext .... gw liat deret aja udah begah ^_^

    ReplyDelete
  10. boleh bantu kerjain ga? tugas PM bingung nih...=)

    dalam acara perpisahan siswa kelas 9, panitia menyiapkan kursi penyusunan tmpt duduk dimulai dari baris pertama di belakangnya 10 kursi. kemudian baris kedepannya masing-masing 2 kursi lebih banyak dari baris belakangnya. jika panitia mengudnang 1240 undangan, maka:
    a. bagaimana cara menghitung kursi tsb?
    b. brapa banyak kursi yg tsusun?
    c. brapa banyak kursi yg paling depan?
    d. jika undangan yg datang hadir tpt menempati tmpt duduk sampai 25 baris dari depan panggung, brapakah jmlh undangan yg datang hadir?
    e. jika panitia menyewa kursi rp. 2500/buah.berapakah biaya yg dikeluarkan?

    ReplyDelete
  11. WAW,...
    TRIMAKASIH KAWAN,.....
    ITU SANGAT MEMBANTU PEKERJAANKU,....^_^

    ReplyDelete
  12. mau tanya ni,,

    jumlah bilangan antara 1-1000 yang tidak habis dibagi 3,5,7?

    ReplyDelete
  13. Minta contoh soal ceritanyalah.
    yg ada anaknya !

    ReplyDelete
  14. Gimana cara cepatnya
    1+2+3+4+5+...+100 ?

    ReplyDelete
  15. gambarnya kok ga bisa dibuka ya??

    ReplyDelete