What's the content of this blog

Composition: Mathematics, my favourite lesson 90%. Mathematics Software 3%, My Life and Experience 3%, and Others 4%..
-- Here we can share knowledge --
-- Enjoy --

Saturday, September 27, 2008

Luas Lingkaran dan Oval

Luas lingkaran itu \pi r^2. Dari manakah rumus itu berasal.? Tak akan ada lagi yang sulit dalam menentukan luas suatu daerah (yang dapat ditulis dalam bentuk persamaan matematika) sejak ditemukannya konsep integral.. Hmm.. Makanya, di sini, akan diberikan penurunan rumus lingkaran dan oval (yang tentunya akan lebih mudah dihapal ketimbang diturunkan).

\text{Luas lingkaran} = \pi r^2

Luas Oval = \pi r_1r_2
(Lihat pembahasan lebih lanjut) ^^

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Bukti/ Penurunan Rumus Luas Lingkaran
Anggap lingkaran itu berpusat di titik O dengan jari-jari r. Maka persamaan garisnya adalah:
x^2+y^2 = r^2
Jika fungsi tersebut dieksplisitkan, maka menjadi:
y=\pm \sqrt{r^2-x^2}

Maka, luasnya dapat ditentukan dari rumus berikut:
\text{Luas} = \int_{\text{batas bawah}}^{\text{batas atas}} f(x) dx
Batas bawahnya adalah x = -r, sedangkan batas atasnya adalah x = r. Karena, -r ke 0 itu simetris dengan dari 0 ke r, maka luasnya tinggal dikali 2.
f(x)-nya adalah \pm \sqrt{r^2-x^2}. Karena di bawah sumbu x dan di atas sumbu x itu bangunnya simetris, maka luasnya cukup dikali 2. Kita gunakan tanda yang + saja.

\text{Luas}=4\int_0^r \sqrt{r^2-x^2}dx
Bentuk ini harus menggunakan identitas trigonometri.

\cos\theta = \frac{\sqrt{r^2-x^2}}{r}
\sqrt{r^2-x^2}}= r \cos\theta
\sin\theta=\frac{x}{r}
diturunkan, maka hasilnya:
r\cos\theta d\theta= dx
\theta=\arcsin{\frac{x}{r}}
Maka, sekarang, rumus Luas menjadi:
\text{Luas}=4\int_0^r (r\cos\theta) (r \cos \theta d\theta)
\text{Luas}=4r^2\int_0^r \cos^2\theta d\theta

Ingat:
\cos2\theta=2\cos^2\theta -1
\cos^2\theta = \frac{\cos2\theta+1}{2}

\text{Luas}=4r^2\int_0^r \frac{\cos 2\theta +1}{2}d\theta
\text{Luas}=2r^2\int_0^r (\cos 2\theta +1)d\theta

\text{Luas}=2r^2\left[ \frac{1}{2}\sin 2\theta +\theta)\right]_0^r

\text{Luas}=2r^2\left[ \sin\theta\cos\theta +\theta)\right]_0^r

\text{Luas}=2r^2\left[\frac{x}{r}\frac{\sqrt{r^2-x^2}}{r} +\arcsin{\frac{x}{r}}\right]_0^r

\text{Luas}=2r^2(0+\arcsin 1 - \arcsin 0)

\text{Luas}=2r^2\frac{\pi}{2}

\text{Luas}=\pi r^2
----- Terbukti -----

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Bukti/ Penurunan Rumus Luas Oval
Bukti rumus luas oval sesungguhnya tidak jauh berbeda dari penurunan rumus luas lingkaran.
Dari gambar di atas, dapat ditulis persamaan oval:
\frac{x^2}{r_1^2}+\frac{y^2}{r_2^2}=1
Jika fungsi tersebut dieksplisitkan maka menjadi:

y=\pm\sqrt{r_2^2-\left(\frac{r_2}{r_1}x\right)^2}
Maka luasnya adalah:
\text{Luas} = 4\int_0^{r_1}\sqrt{r_2^2-\left(\frac{r_2}{r_1}x\right)^2}dx
Gunakan identitas identitas trigonometri:

\cos\theta = \frac{\sqrt{r_2^2-\left(\frac{r_2}{r_1}x\right)^2}}{r_2}

\sqrt{r_2^2-\left(\frac{r_2}{r_1}x\right)^2} = r_2\cos\theta
\sin\theta= \frac{r_2x}{r_1}\times \frac{1}{r_2} = \frac{x}{r_1}

diturunkan, maka hasilnya:

r_1\cos\theta d\theta = dx
\theta = \arcsin{\frac{x}{r_1}}

Maka, sekarang rumus luas menjadi:
\text{Luas}= 4 \int_0^{r_1} (r_2 \cos\theta) (r_1 \cos \theta d\theta)
\text{Luas}= 4 r_1 r_2 \int_0^{r_1} \cos^2\theta d\theta
Ingat rumus \cos^2\theta = \frac{\cos2\theta+1}{2}, maka:
\text{Luas}= 2 r_1 r_2 \int_0^{r_1} (\cos2\theta +1)d\theta
\text{Luas}= 2 r_1 r_2 \left[ \frac{1}{2} \sin 2\theta + \theta \right]_0^{r_1}

\text{Luas}= 2 r_1 r_2 \left[ \sin \theta \cos\theta + \theta \right]_0^{r_1}

\text{Luas}= 2 r_1 r_2 \left[ \frac{x}{r_1}\times \frac{\sqrt{r_2^2-\left(\frac{r_2}{r_1}x\right)^2}}{r_2} + \arcsin{\frac{x}{r_1}} \right]_0^{r_1}

\text{Luas}= 2 r_1 r_2 \left[ 0 + \arcsin{1} - \arcsin 0} \right]
\text{Luas}= 2 r_1 r_2\frac{\pi}{2}
\text{Luas}= \pi r_1 r_2
----- Terbukti -----

Demikianlah pembuktian rumus luas oval dan lingkaran. Ternyata, apabila jari-jari terpendek dan terpanjangnya sama, rumus luas oval akan menjadi rumus lingkaran.. ^^

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Contoh Soal 1:
Lebih luas yang mana?
(i) Lingkaran dengan diameter 10 cm, atau
(ii) oval dengan jari-jari terpendeknya 4 cm dan jari-jari terpanjangnya 6 cm.

Jawab:
(i) Luas lingkaran = \pi r^2 = 25\pi \text{ cm}^2
(ii) Luas oval = \pi r_1 r_2 = 24\pi \text{ cm}^2
Maka, lingkaran berjari-jari 5 cm lebih luas daripada oval dengan r1=4cm dan r2=6 cm.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Smoga pengetahuan ini berguna bagi pembaca.... ^^
Ada yang ingin ditanyakan.?

9 comments:

  1. berapa nilai phi?
    semua nilai ddi belakang koma di tulis

    ReplyDelete
  2. Hati-hati, π tidak ditulis "phi" tetapi "pi". Karena keduanya berbeda.

    Pi = 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196....

    Hmm. panjang bukan.?

    ReplyDelete
  3. Hi,

    You have a nice blog here! Congratulations!
    I offering you a link exchange - if you accepting it.

    My blog:

    http://www.chessgambiter.blogspot.com/
    Welcome to visit!

    Sandor
    Mail: chessbumbus@gmail.com

    ReplyDelete
  4. Sebelum manusia mengenal integral, manusia sudah dapat menentukan luas lingkaran. L = phi r^2.

    Pertanyaannya, bagaimana cara mereka menemukan'a???

    Kalo integral kan pendekatan, karena pake limit.
    Untung aja nilainya sama.

    ReplyDelete
  5. luas lingkaran didapatkan dari integral adalah pendekatan yg kurang tepat.

    karena luas lingkaran lebih dahulu ditemukan sebelum integral. integral hanya digunakan untuk membuktikan dan memperkuat kebenaran rumus luas lingkaran yg selama ini dipake.

    penjelasan sedemikian rumit hanya untuk mendapatkan luas lingkaran adalah mustahil dimengerti oleh anak kelas 5 SD.

    pendekatan menggunakan geometri tampaknya lebih masuk akal. http://yud1.csui04.net/2010/05/08/sudut-pandang-dari-luas-lingkaran/

    thanks

    ReplyDelete