What's the content of this blog

Composition: Mathematics, my favourite lesson 90%. Mathematics Software 3%, My Life and Experience 3%, and Others 4%..
-- Here we can share knowledge --
-- Enjoy --

Sunday, January 4, 2009

Bukti: Rumus-Rumus Dasar Turunan/ Derivatif

Berikut adalah rumus-rumus dasar turunan/ derivatif:
Bila y=f(x) , y'=f'(x), dan a adalah konstanta maka:
1.
2.




3.
4.
_
5.





6.



etc...
Lihat lanjutan post di bawah untuk mengetahui bukti-buktinya.
=========================================================================
Mengapa Turunan dari adalah ?? (a konstanta)
Bukti ini sangat mudah. Langsung kita gunakan definisi dari derivatif.
(atau bisa kita gunakan cara seperti di post "bukti sifat-sifat turunan" yang dilakukan secara bertahap..)
.










TERBUKTI
Selanjutnya: Mengapa turunan dari adalah ??
Kita bisa saja menguraikan penurunan rumus ini dari awal, seperti cara yang serupa seperti di atas. Namun, kita gunakan saja rumus sebelumnya, untuk membuktikan rumus ini., supaya kita tidak 2 kali kerja..

Di atas merupakah rumus yang sudah kita dapatkan sebelumnya. Substitusikan a=e.

Ingat bahwa ln e =1. Ingat bahwa: = , maka:

TERBUKTI
=========================================================================
Mengapa turunan dari adalah ??

ln-kan kedua ruas.


turunkan kedua ruas. Ingat bahwa turunan dari ln x adalah 1/x.





TERBUKTI
=========================================================================
Mengapa turunan dari adalah ?? (a konstanta)

ln-kan kedua ruas.


turunkan kedua ruas, maka hasilnya:



TERBUKTI
Selanjutnya: Mengapa turunan dari adalah ??
Sesuai dengan rumus sebelumnya:

Jika a=e, maka:


TERBUKTI
=========================================================================
Mengapa turunan dari adalah ??
Untuk membuktikan ini, kita bisa gunakan definisi awal dari derivatif.
.


Ingat bahwa:
==> Note: rumus di atas HARUS dapat diturunkan sendiri.
Dengan demikian, persamaan menjadi:






TERBUKTI
Mengapa turunan dari adalah ??
Pembuktiannya menggunakan cara yang sama seperti di atas.



Ingat bahwa:
==> rumus di atas HARUS bisa diturunkan sendiri.
Dengan demikian, persamaan menjadi:






TERBUKTI

Note: Cara lain menurunkan turunan sin x dan cos x yaitu dengan melihat identitas eulernya (Lihat di sini):
*)
*)
Dengan menurunkan sisi ruas kanan dari , maka akan menghasilkan sisi kanan dari .
Mengapa turunan dari adalah ??
Fungsi tangen dapat dibentuk ke dalam bentuk pembagian.

Kemudian, ingatlah sifat turunan berikut.

Dengan menggunakan sifat itu, maka pembuktian turunan f(x) akan segera terbukti.




TERBUKTI

Rumus-rumus di atas adalah rumus turunan yang siap pakai. Selanjutnya, akan dibahas pembuktian untuk rumus-rumus yang kurang begitu *terpakai*. Jika terpakai pun, kita dapat dengan mudah menurunkannya. Konsep menurunkannya sama seperti di atas, kecuali adanya beberapa yang mengharuskan substitusi trigonometri.. But, lagi-lagi, rumus di bawah jangan sengaja dihapal (kecuali kalau tidak sengaja terhapal).. ;P

Bukti: turunan dari , , dan
Bukti bisa menggunakan teorema sebelumnya yang berbunyi: .
Sama halnya seperti menggunakan dalil rantai...



Dengan aturan rantai, maka:



TERBUKTI

Bukti turunan dari fungsi arcsin x, arccos x, arctan x, etc
Tidak semua bukti akan diberikan di sini, karena prosesnya hampir sama. Dan, akan terlalu banyak jika semuanya dibahas dalam satu post di blog. So, it is your challenge to prove it by yourself...

Bukti turunan dari fungsi arcsin x


Turunkan kedua ruas, maka hasilnya:


Dengan menggambar segitiga siku-siku dengan sudut y (memisalkan sisi depan adalah x, sisi miring 1), maka kita akan mendapatkan cos y. (Lihat gambar)

Atau, kita bisa memanfaatkan identitas trigonometri: , maka:
.
Di sini, kita dapat: . Maka, tinggal disubstitusikan...

TERBUKTI

Bukti turunan dari fungsi arccotan x


Turunkan kedua ruas maka hasilnya:



, maka .
Gambarkan segitiga siku-siku dengan sudut y. Misalkan sisi depan adalah 1, dan sisi samping adalah x. (lihat gambar).

Dengan demikian, kita bisa menghitung panjang sisi miring, kemudian menghitung nilai dari sin y.

Substitusikan nilai dari sin y ke persamaan sebelumnya.


TERBUKTI

Bukti turunan dari fungsi hiperbolik: sinh x, cosh x, etc

Pembuktiannya menggunakan sisi kanan dari identitas terhadap euler. Ingat bahwa:



Bukti turunan sinh x
(TERBUKTI)

Bukti turunan cosh x
(TERBUKTI)

Bukti turunan tanh x

___________ (TERBUKTI)

=========================================================================
Masih banyak bukti yang belum dibuktikan karena keterbatasan waktu.. Namun, prosesnya tidak berbeda jauh seperti pembuktian di atas.. Jika ada yang merasa kesulitan, silakan bertanya di comment.. ^^

Btw, thx for www.ariaturns.wordpress.com because having inspired me writing this topic. ^^

Sumber: www.ariaturns.wordpress.com, Kalkulus I (Wikaria Gazali): Graha Ilmu.

25 comments:

  1. wich..rajin eng si abang...ane salut
    nuhun ach..keep posting :)

    yang aku tanya bukan masalah nurunin rumus, tapi naikin semangat ngulik matematikanya :)

    ReplyDelete
  2. kalo bertebaran posting yng kyk beginian, mgkn negara qt bakal punya jagoan2 d bdng matmtka....thx a lot ych,,aplikasi byk bgt bwt khdpn keseharian.like me as civil engineer...keep posting..... :)

    ReplyDelete
  3. hem...sudah lupa semua, soalnya sudah 18 tahun mengajar SMP, and baru aja belajar ngeblok..salam kenal

    ReplyDelete
  4. mas. tolong dong bantuin. e itu apa sih?? knp bs = 2,718.....

    ReplyDelete
  5. e itu konstanta euler.

    Untuk mendapatkan 2,718... itu menggunakan perhitungan mesin (kalkulator)..

    Coba saja kamu hitung berapakah hasil dari:
    (i) (1,001)^1000
    (ii) (1,0001)^10000
    (iii) (1,00000000001)^100000000000
    dst...

    Maka, hasilnya akan mendekati 2,718...

    ReplyDelete
  6. Waduh..
    membuktikan arc tan nya bingung nih,...
    T_T

    ReplyDelete
  7. thx, sangat membantu....keep on posting :)

    ReplyDelete
  8. rumus euler tuh dri mana?.. kok tiba2 bisa jadi rumus gitu???

    ReplyDelete
  9. Rumus euler yang mana ya? Euler ada banyak rumusnya.. >___<. Jadi, binun..

    ReplyDelete
  10. woow,, makasih mas hendry,,,
    hahaha pelajaran smu nih dah rada2 lupa...
    untung ada nihhh... buat tugas kul...
    thankkkssss

    ReplyDelete
  11. nanya doonk klo turunnya e^-x apa?
    hahaha

    ReplyDelete
  12. Bang Hendry, tlng bktiin dong klu (f(x+h)-f(x))/h = ax^(n-1)
    Ilmu sya msh rndah nih..

    ReplyDelete
  13. klo turunannya arc cos 1/x gmn??

    ReplyDelete
  14. bagaimana membuktikan tanh(x1+x2)= tanh(x1)+tanh(x2)/1+tanh(x1)tanh(x2)?

    ReplyDelete
  15. waaah....marvelous nih posting...!!! Hebat!!! :D :D :D

    ReplyDelete
  16. materi pemodelan diferensial parsial dawai berfibrasi kalo bsa ditampilkan

    ReplyDelete
  17. makasih pak, ngebantu kalkulus ni rangkuman

    ReplyDelete
  18. pak mjnta izin ngopy paste dokumen ini,

    ReplyDelete
  19. terimakasih sebelumnya,sangat ngebantu kalkulus ana

    ReplyDelete
  20. d/dx 4x(pangkat 3) + 2x (pangkat 2) + 2x
    jwbnnya gmna nih ?

    ReplyDelete
  21. sangat membantu, terimakasih banyak,, :)

    ReplyDelete
  22. Harus di bookmark nih postingan klo perluane save page as

    ReplyDelete