What's the content of this blog

Composition: Mathematics, my favourite lesson 90%. Mathematics Software 3%, My Life and Experience 3%, and Others 4%..
-- Here we can share knowledge --
-- Enjoy --

Thursday, January 1, 2009

Bukti Limit sin x/x = 1 (x->0)

Teorema:

.
Berikut akan dibuktikan teorema ini tanpa menggunakan dalil L'Hospital.

=========================================================================
BUKTI I:
Teorema untuk setiap
Perhatikan gambar di samping. !!
x direpresentasikan sebagai panjang kurva (lingkaran berjari-jari 1) yang dimulai dari sumbu x positif dan berlawanan arah jarum jam. Kemudian, sin x dan tan x direpresentasikan sebagai panjang garis (lihat yang warna merah dan hijau)...

Dengan demikian, teorema ini berlaku:

untuk setiap
Untuk teorema di atas, kita juga dapat melihatnya dari gambar kurva f(x)=sin x, g(x)=x, dan h(x)=tan x. Lihat gambar di bawah.

Di sini, kita tahu bahwa:
*) untuk
*) untuk

Sekarang, kita anggap bahwa x didekati dari kanan. Maka, x positif. Jadi, teorema di bawah berlaku:

Bagi dengan


Kita hitung nilai jika nilai x mendekati nol.

Oleh karena itu:



TERBUKTI

Note: Jika x didekati dari kiri, maka akan muncul seperti di bawah:

Lalu, jika x mendekati nol, maka hasil yang sama seperti di atas akan segera didapatkan.

=========================================================================
BUKTI II:
Tidak percaya dengan hasil di atas? Sekarang, kita gunakan cara primitif..!! Gunakan kalkulatormu!! Kita akan mencoba mengevaluasi nilai .
Nah, berikut adalah tabel hasil perhitungannya (4 angka di belakang koma):
x
-0.4 0.9735
-0.39 0.9748
-0.38 0.9761
-0.37 0.9773
-0.36 0.9785
-0.35 0.9797
-0.34 0.9808
-0.33 0.9819
-0.32 0.983
-0.31 0.9841
-0.3 0.9851
-0.29 0.986
-0.28 0.987
-0.27 0.9879
-0.26 0.9888
-0.25 0.9896
-0.24 0.9904
-0.23 0.9912
-0.22 0.992
-0.21 0.9927
-0.2 0.9933
-0.19 0.994
-0.18 0.9946
-0.17 0.9952
-0.16 0.9957
-0.15 0.9963
-0.14 0.9967
-0.13 0.9972
-0.12 0.9976
-0.11 0.998
-0.1 0.9983
-0.09 0.9987
-0.08 0.9989
-0.07 0.9992
-0.06 0.9994
-0.05 0.9996
-0.04 0.9997
-0.03 0.9999
-0.02 0.9999
-0.01 1
0
0.01 1
0.02 0.9999
0.03 0.9999
0.04 0.9997
0.05 0.9996
0.06 0.9994
0.07 0.9992
0.08 0.9989
0.09 0.9987
0.1 0.9983
0.11 0.998
0.12 0.9976
0.13 0.9972
0.14 0.9967
0.15 0.9963
0.16 0.9957
0.17 0.9952
0.18 0.9946
0.19 0.994
0.2 0.9933
0.21 0.9927
0.22 0.992
0.23 0.9912
0.24 0.9904
0.25 0.9896
0.26 0.9888
0.27 0.9879
0.28 0.987
0.29 0.986
0.3 0.9851
0.31 0.9841
0.32 0.983
0.33 0.9819
0.34 0.9808
0.35 0.9797
0.36 0.9785
0.37 0.9773
0.38 0.9761
0.39 0.9748
0.4 0.9735

Jika masih belum puas, kita lihat saja grafik . Gambar grafiknya ditunjukkan di bawah.

Nah, ternyata untuk x mendekati nol, limitnya 1, bukan??
=========================================================================

22 comments:

  1. mantap...
    tapi koreksi dikit gambarnya...untuk x=o seharusnya dibundari kosong soalnya nilai f(x) tidak didefinisikan untuk x = 0.

    ReplyDelete
  2. wah, rajin sekali ya,, bagus.. keep posting..

    ReplyDelete
  3. Thank's infonya sangat membantu untuk tugas mtk ku..

    ReplyDelete
  4. makasih...materinya sangat membantu....
    #wahyu cahyono XI a 1

    ReplyDelete
  5. makasih atas materinya ...
    #Yoga Pradana Putra XI MIPA 1

    ReplyDelete
  6. Wah...sangat bermanfaat ilmunya....termah kasih banyak

    ReplyDelete
  7. Terima kasih materinya ,semoga bermanfaat

    #abdul rohim XIA1

    ReplyDelete
  8. Terima kasih atas informasinya ini sangat membantu tugas Matematika saya :)

    ReplyDelete
  9. Terimakasih atas informasinya,tugas matemtika saya jadi selesai

    ReplyDelete
  10. terima kasih infonya sangat membantu tugas mtk saya.

    ReplyDelete
  11. thank's atas infonya. ini sangat membantu tugas saya.

    ReplyDelete
  12. Terimakasih atas pembahasan anda tentang limit trigonometri yang sudah membantu untuk menyelesaikan tugas matematika peminatan yang diberikan oleh guru sekolah saya. :)

    ReplyDelete
  13. terimakasih atas informasinya, ini sangat membantu tugas saya
    #dinda wahyu khoirun nisah

    ReplyDelete
  14. trimakasih atas informasinya, ini sangat membantu

    siti ria datul janah
    XI MIPA 1
    27

    ReplyDelete
  15. Materinya sangat membantu saya mengerjakan tugas saya
    Terimakasih

    ReplyDelete
  16. Terimakasih materinya, ini membantu tugas mtk saya...

    ReplyDelete
  17. Terimakasih materi ini sangat membantu saya dalam mengerjakan tugas ini.

    ReplyDelete
  18. Terimakasih atas materinya. Telah membantu saya dalam mengerjakan tugas mtk ini.

    ReplyDelete
  19. Terimakasih atas materinya.Telah membantu saya untuk menyelesaikan tugas mtk saya.

    ReplyDelete

  20. thanks for your help and information.....
    #Mohammad azman bin irwan

    ReplyDelete
  21. terima kasih ....
    #saikhu aji

    ReplyDelete