Bukti: Teorema Ceva

Teorema Ceva merupakan teorema yang terkenal di geometri elementer.

Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik D, E, dan F masing-masing terletak pada garis BC, CA, dan AB. (lihat gambar)

Teorema Ceva menyatakan bahwa

Garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik jika dan hanya jika:

Sesuai dengan dalil Sinus, Teorema Ceva juga dapat dibentuk sebagai berikut.

=========================================================================

BUKTI TEOREMA CEVA

Perhatikan kata "jika dan hanya jika" dari teorema tersebut.

Dengan demikian, untuk membuktikan teorema ini, kita harus membuktikan 2 kondisi berikut:
1. Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik, maka
2. Jika , maka garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik

Untuk Kondisi Pertama:
Diketahui bahwa garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik.

Lihat gambar segitiga ABC di atas.
dan memiliki tinggi yang sama.
Oleh karena itu: ... (ia)
Perhatikan juga bahwa dan juga memiliki tinggi yang sama.
Oleh karena itu: ...(ib)

Dari kedua persamaan di atas, maka kita dapatkan:

... (ic)

Dengan cara yang sama, kita akan mendapatkan persamaan untuk sisi segitiga yang lain:

... (ii)

... (iii)

Kalikan ketiga persamaan itu, maka akan kita dapatkan:

Kondisi pertama TERBUKTI

Untuk Kondisi Kedua:
(Gunakan gambar segitiga di atas, dengan simbol dan garis yang sama)
Terdapat titik F' pada garis AB sehingga memenuhi persamaan berikut.

... (i)

Karena kita masih memakai simbol F dalam gambar kita, maka persamaan ini juga berlaku (sesuai dengan pembuktian yang kondisi pertama):

... (ii)

Dengan membandingkan keduanya, maka kita dapatkan:

Tambahkan 1 di kedua ruas, maka:

Persamaan terakhir menunjukkan bahwa titik dan titik berhimpit.
Artinya garis garis AD, BE, dan CF' berpotongan di 1 titik

Kondisi Kedua TERBUKTI

=========================================================================

BENTUK TEOREMA CEVA DALAM TRIGONOMETRI

Lihat juga post mengenai PEMBUKTIAN DALIL SINUS di SINI.
Untuk segitiga ABC, dalil Sinus berbunyi sbb: .

Maka, kita dapatkan ketiga persamaan berikut (lihat gambar paling atas).

... (i)
... (ii)
... (iii)

Dengan mengalikan ketiga persamaan tersebut, kita dapatkan persamaan berikut.

TERBUKTI.

=========================================================================
Sekian dulu post tentang pembuktian ini. Teorema ini sering dipakai untuk kasus-kasus geometri segitiga yang sederhana. Untuk contoh soal, akan diberikan di post lain, bukan di sini.. ^^

Lihat juga mengenai Teorema Menelaus (the dual of Ceva Theorem). ^^

Sumber: http://en.wikipedia.org/wiki/Ceva%27s_theorem