What's the content of this blog

Composition: Mathematics, my favourite lesson 90%. Mathematics Software 3%, My Life and Experience 3%, and Others 4%..
-- Here we can share knowledge --
-- Enjoy --

Thursday, February 12, 2009

Bukti: Teorema Ceva

Teorema Ceva merupakan teorema yang terkenal di geometri elementer.

Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik D, E, dan F masing-masing terletak pada garis BC, CA, dan AB. (lihat gambar)

Teorema Ceva menyatakan bahwa
Garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik jika dan hanya jika:


Sesuai dengan dalil Sinus, Teorema Ceva juga dapat dibentuk sebagai berikut.


=========================================================================
BUKTI TEOREMA CEVA

Perhatikan kata "jika dan hanya jika" dari teorema tersebut.

Dengan demikian, untuk membuktikan teorema ini, kita harus membuktikan 2 kondisi berikut:
1. Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik, maka
2. Jika , maka garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik

Untuk Kondisi Pertama:
Diketahui bahwa garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik.

Lihat gambar segitiga ABC di atas.
dan memiliki tinggi yang sama.
Oleh karena itu: ... (ia)
Perhatikan juga bahwa dan juga memiliki tinggi yang sama.
Oleh karena itu: ...(ib)

Dari kedua persamaan di atas, maka kita dapatkan:
... (ic)

Dengan cara yang sama, kita akan mendapatkan persamaan untuk sisi segitiga yang lain:
... (ii)
... (iii)

Kalikan ketiga persamaan itu, maka akan kita dapatkan:

Kondisi pertama TERBUKTI
Untuk Kondisi Kedua:
(Gunakan gambar segitiga di atas, dengan simbol dan garis yang sama)
Terdapat titik F' pada garis AB sehingga memenuhi persamaan berikut.
... (i)
Karena kita masih memakai simbol F dalam gambar kita, maka persamaan ini juga berlaku (sesuai dengan pembuktian yang kondisi pertama):
... (ii)
Dengan membandingkan keduanya, maka kita dapatkan:

Tambahkan 1 di kedua ruas, maka:




Persamaan terakhir menunjukkan bahwa titik dan titik berhimpit.
Artinya garis garis AD, BE, dan CF' berpotongan di 1 titik
Kondisi Kedua TERBUKTI
=========================================================================
BENTUK TEOREMA CEVA DALAM TRIGONOMETRI

Lihat juga post mengenai PEMBUKTIAN DALIL SINUS di SINI.
Untuk segitiga ABC, dalil Sinus berbunyi sbb: .

Maka, kita dapatkan ketiga persamaan berikut (lihat gambar paling atas).
... (i)
... (ii)
... (iii)
Dengan mengalikan ketiga persamaan tersebut, kita dapatkan persamaan berikut.


TERBUKTI.
=========================================================================
Sekian dulu post tentang pembuktian ini. Teorema ini sering dipakai untuk kasus-kasus geometri segitiga yang sederhana. Untuk contoh soal, akan diberikan di post lain, bukan di sini.. ^^

Lihat juga mengenai Teorema Menelaus (the dual of Ceva Theorem). ^^


6 comments:

  1. gan, pembuktiannya sangat bagus...
    aq copy ya...

    ReplyDelete
  2. keren bangeet :) nice share.. makasih yaa. sangat bermanfaat

    ReplyDelete
  3. Terima kasih, sangat membantu :)

    ReplyDelete