Ketaksamaan Cauchy-Schwarz...(i)

Ketaksamaan Cauchy-Schwarz (Cauchy-Schwarz Inequality) merupakan salah satu ketaksamaan yang *paling* terkenal. Teorema ini sangat berguna untuk memecahkan berbagai masalah dalam soal olimpiade. Inequality ini lebih ampuh dibandingkan jika kita menggunakan teorema AM-GM-HM. Don't miss to read this post.!

Berikut adalah teorema Cauchy-Schwarz:

Terdapat dua buah vektor dan di , maka:

Lambang bulatan hitam merepresentasikan dot vektor.
Maksud dari tanda "|............|" adalah nilai mutlak, sedangkan maksud dari tanda "||......||" adalah panjang dari vektor. Di berbagai sumber lain, penulisannya dot vektornya sedikit berbeda, yaitu sebagai berikut.

Kalian jangan bingung... hanyalah bentuk lain dari .

Nah, bagaimana jika kita ingin menguraikan bentuk vektor tersebut?
Jika dan , maka bentuk di atas dapat ditulis ulang sbb.

Jika kita mengkuadratkan kedua ruas, lalu kita tulis dalam notasi sigma, maka ketaksamaan tersebut dapat ditulis sbb.

Banyak yang lebih mengetahui bentuk Cauchy-Schwarz dalam bentuk notasi sigma daripada bentuk vektor. Kalian sebetulnya bebas menentukan mau memakai bentuk yang mana (tergantung selera kalian :P). Yang penting, aku sudah kasih tw kalau bentuk teorema Cauchy-Schwarz ini bisa bermacam-macam. Lagi-lagi, kalian jangan bingung.. Keduanya itu teorema yang sama..

Jika kalian mencoba search di google, maka akan terdapat banyak sekali pembuktian mengenai Cauchy-Schwarz. Saya menemukan bahwa bukti ini sesungguhnya tidak begitu rumit, bahkan cukup mudah dan dapat dimengerti orang awam.

Lihat lanjutan post untuk mengetahui bukti teorema ini..
=========================================================================

BUKTI I

Ingat formula dot vektor, yang bunyinya sebagai berikut.

Karena nilai dari dan selalu positif, dan , maka nilai terendah dari akan didapat jika nilai dari adalah -1, sedangkan nilai tertinggi dari akan didapat jika nilai dari adalah 1.
Maka, kita akan mendapatkan dua persamaan berikut.

... (i)
... (iia)

Persamaan (iia) dapat kita ubah dengan mengalikan (-1) menjadi:

... (iib)

Persamaan (i) dan (iib) sesungguhnya mengisyaratkan nilai mutlak, yang artinya teorema Cauchy pun langsung didapatkan.

Terbukti

Note: di sini, secara inplisit, kita tahu bahwa kesamaan akan berlaku jika nilai itu 1 atau -1. Dengan kata lain, kesamaan akan berlaku jika kedua vektor dan itu sejajar atau berhimpit.
Kesamaan juga berlaku jika atau bernilai nol.
=========================================================================

BUKTI II

Perhatikan bentuk berikut. Bilangan yang dikuadratkan selalu menghasilkan nilai positif.

Dijabarkan menjadi:

Karena bentuk persamaan kuadrat dalam x di atas selalu bernilai positif atau nol, maka diskriminannya haruslah lebih kecil atau sama dengan nol.

sehingga ketika disusun ulang, menjadi:

Terbukti

=========================================================================

BUKTI III

Pembuktian ini sedikit rumit. Pertama, kita anggap bahwa dan bukan vektor nol, karena jika nol, maka kesamaan akan berlaku.
Pertama-tama kita cari vektor satuan dari dan .

Vektor satuan dari = =
Vektor satuan dari = =

Kemudian, perhatikan langkah-langkah berikut.
Panjang vektor selalu lebih besar atau sama dengan nol.

Kuadratkan.

Ubah bentuk di atas menjadi formula dot vektor.

Sesuai dengan sifat distributif dot vektor, maka:

Seterusnya:

Ingat bahwa panjang vektor satuan adalah 1, maka:

Ingat bahwa = dan = .

... (i)

Dari persamaan (i), kita substitusikan menjadi , sehingga menjadi

... (ii)

Persaman (i) dan ke (ii), keduanya mengindikasikan nilai mutlak, sehingga:

Terbukti

=========================================================================

CLOSING

Ketiga bukti itu mengarah ke pembuktian yang sama. Tidak sulit untuk dipelajari. Sangat Mudah.!!

Btw, maap karena saya postnya agak lama. Minggu ini adalah minggu sibuk. Ada ujian Akhir semester 3.. ~~z. N, saya masih belum sempat membuat post tentang contoh-contoh soal tentang Cauchy-Schwarz. Untuk contoh-contoh latihan akan saya post di post berikutnya yang berjudul "Ketaksamaan Cuachy-Schwarz...(ii)".. Semoga jadinya agak cepet... Tunggu ya..!! ^^

Sekali lagi, teorema Cauchy-Schwarz merupakan teorema yang sangat berguna dalam menyelesaikan soal-soal olimpiade. Sangat disayangkan untuk melewatkan teorema yang yang sangat menarik ini. ^^

Sumber: www.matriksmat.wordpress.com, http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Schwarz_inequality, http://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/csineq.html, http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/st/Cauchy_Schwarz_Inequality.html.