Teorema Wilson

Perhatikan contoh-sontoh soal berikut.

Berapakah sisa pembagian dari

1! dibagi 2
2! dibagi 3
4! dibagi 5
6! dibagi 7
10! dibagi 11
12! dibagi 13
dst..

Lalu, apa uniknya jawaban dari soal di atas? Lihat lanjutannya di bawah.
=======================================================================

(Semua jawaban di atas adalah "-1".)

Dalam buku yang dipublikasikan tahun 1770, seorang matematikawan Inggris Edward Waring menyatakan bahwa muridnya menemukan bahwa (p-1)!+1 habis dibagi oleh p berapapun p yang merupakan bilangan prima. Namun, tidak ada dari keduanya yang mampu membuktikannya. Tahun 1771, Joseph Lagrange membuktikan teorema ini, yang selanjutnya dikenal sebagai teorema Wilson.

Teorema Wilson
Jika adalah bilangan prima, maka

=======================================================================

Tentunya, kita sudah pernah mempelajari invers modulo di post INI. "a adalah invers dari b modulo c" jika . Istilah ini akan kita pakai dalam pembuktian teorema ini.

Sebelum pembuktian, kita lihat ilustrasi ide di balik pembuktian ini.

Tentukan sisa pembagian (7-1)! dibagi 7.
(7-1)! = 6! = 1.2.3.4.5.6.
Selain 1 dan 6, maka kita akan menyusun pasangan-pasangan yang merupakan invers modulo.


Oleh karenanya, kita lakukan grouping sebagai berikut:
6! = 1.(2.4).(3.5).6
Jadi, .

Selain mod 7, kalian juga bisa coba misalnya dengan modulo yang lain, misalnya modulo 11.

BUKTI TEOREMA WILSON:
Untuk , maka adalah benar. Jadi, teorema itu benar untuk .

Sekarang, asumsikan adalah bilangan prima yang lebih besar 2.
Dari bilangan 1,2,3,4,5,..., (p-2), (p-1), bilangan yang memiliki invers modulo p terhadap dirinya sendiri HANYA dan . (Bukti ada di kotak di bawah.)

Kita tahu bahwa memiliki invers modulo dirinya sendiri, karena .
memiliki invers modulo dirinya sendiri, karena
.

Lalu bagaimana dengan bilangan selain dan .
Seandainya adalah sembarang integer yang mempunyai invers modulo terhadap dirinya sendiri dan , maka kondisi ini harus berlaku:

Kondisi ini ternyata berkontradiksi dengan pernyataan awal bahwa . Jadi, bilangan dalam selalu mempunyai pasangan invers modulo dengan bilangan yang lainnya.

Selanjutnya, kita dapat melakukan grouping sbb:

_______
_______
Jadi, teorema Wilson pun TERBUKTI. ■

=======================================================================

Konverse Teorema Wilson
Jika , maka adalah bilangan prima

Bukti:
Andaikan adalah bilangan komposit. Artinya akan terdapat bilangan dimana sehingga . Artinya, kondisi ini juga berlaku:

_____... (i)

Selanjutnya, karena , artinya . Karena , maka

_____... (ii)

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa:

Padahal ini kontradiksi dengan pernyataan "".
Artinya, haruslah prima.
Konverse teorema Wilson TERBUKTI. ■

Note: konverse Teorema Wilson jarang digunakan untuk mengetes apakah suatu bilangan merupakan bilangan prima (Primality test), karena operasinya menyulitkan, terlebih untuk bilangan-bilangan besar.

=======================================================================

Sekian mengenai topik Teorema Wilson. Menurut saya sendiri, teorema aplikasinya masih kurang, dan jarang sekali keluar dalam soal-soal matematika. Namun, siapa tahu kalian bisa mengembangkan teorema ini menjadi sesuatu yang lebih berguna. :)

Untuk lebih advance, silakan lihat dan pelajari sumber yang diberikan di bawah. Semoga bermanfaat.

Sumber:
http://en.wikipedia.org/wiki/Wilson%27s_theorem
Elementary Number Theory ad its Aplication (Kenneth H Rosen)
http://mathworld.wolfram.com/WilsonsTheorem.html -- Kalian bisa lihat korolari Teorema Wilson di sini.