Makanan Otak ...(vb) {Jawaban Limit}

Ini adalah lanjutan dari post "Makanan Otak...(v) {Limit}".. Di sini, akan kuberi tahu jawaban dari 20 nomor di post itu. Namun, ada baiknya jika kalian mencoba dulu dengan usaha kalian terlebih dahulu, barulah melirik jawaban di sini untuk dicocokkan.. ^^.. Oh iya, di sini juga ada materi sekilas tentang limit, namun di sini tidak selengkap yang ada di buku text book kalian.. Namanya juga *sekilas*.. XD.

=========================================================================

--Sekilas Tentang Limit--

Sebelum melangkah lebih jauh, ada baiknya kita mengulang materi limit (yang tidak sempat kubuat materinya di blog ini...). Limit adalah suatu pendekatan. Dapat dikerjakan dengan cara memasukkan nilai pendekatan itu langsung ke fungsinya.
Misalnya: .
Namun, tidak selalu cara itu berhasil karena fungsi di titik itu tidak kontinu. Atau dengan kata lain tidak tersambung. Maka, tidak dapat terdefinisikan.
Misalnya: . Jika nilai x langsung dimasukkan ke fungsinya, maka akan terbentuk , yang artinya tidak dapat didefinisikan. Jadi, kita harus mengubah bentuk tersebut menjadi lebih sederhana. (Lihat contoh-contoh soal di bawah). dan juga merupakan bentuk yang tidak dapat didefinisikan.. ^^

Tak lupa, ada juga rumus limit untuk trigonometri untuk x mendekati nol.

Beberapa limit akan menuju nilai yang spesifik. Berikut adalah limit yang merupakan identitas euler.

Eh, ada yang kelupaan lagi, tapi ini lumayan penting.. Suatu fungsi itu punya limit di suatu titik apabila limit kirinya sama dengan limit kanannya.. Apa itu limit kiri? Apa itu limit kanan? Lihat penjelasan di bawah.
Contoh limit kanan:
Contoh limit kiri:
Perhatikan di atas. Limit kiri dan limit kanan di titik itu sama. Jadi, fungsi itu punya limit di x=2.
Aku beri contoh.. , sedangkan. Karena limit kiri dan limit kanan berbeda nilainya, maka tidak dapat didefinisikan. Contoh lain seperti: , sedangkan. Karena nilainya berbeda, maka tidak dapat didefinisikan.

Untuk mencari nilai limit, kita juga dapat menggunakan dalil L' Hospital:

Dalil L' Hospital hanya berlaku jika membentuk atau .

Ternyata, ada cara lain untuk mencari limit fungsi, selain yang sudah disebutkan di atas, yaitu menggunakan metode numerik (biasanya di komputer..). Dan ini juga ampuh untuk fungsi-fungsi yang susah banget disederhanakan dan dikutak-katik. Namun, kerugiannya, menimbulkan error yang relatif besar juga, tergantung seberapa akurat nilai yang kita gunakan.. Langsung ke contoh.
Tentukan nilai .
Maka, kita masukkan saja nilai x yang mendekati nol. Misalkan x=0,000001. Dengan demikian:

(Untuk kasus di atas, akan lebih baik jika kita mencoret variabel x saja, maka kita akan mendapatkan nilai limitnya nol.. Namun, ada beberapa kasus di mana metode numerik sangat berperan.. :D)

=========================================================================

--Here are the answers--
--> Makanan Otak...(v) {Limit} <--

1.	Mudah dikerjakan. Hanya kita coba untuk faktorkan, kemudian, dicoret.. ^^ ________________ ________________ ________________ ***********************************************************************************
2.	Hmm.. Remember that bentuk akar sebaiknya kita kalikan dengan sekawannya.. :D ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ***********************************************************************************
3.	Mulanya memang agak susah, namun kita bisa menyederhanakan dengan mengeluarkan akar x-nya. Coret saja langsung akar x-nya.. :D ***********************************************************************************
4.	_______________________ _______________________ _______________________ _______________________ ***********************************************************************************
5._	Bentuk cos bisa ditransformasikan ke sin gak yach... Yupp.. . _____________ _____________ _____________ _____________

___***********************************************************************************

6.	_____________________ _____________________ _____________________ ***********************************************************************************
7.	_____________ _____________ ***********************************************************************************
8.	Yang satu ini sedikit tricky.. Lihat bahwa __++_________________ _____________________ _____________________ ***********************************************************************************
9.	Lagi-lagi, kalikan dengan sekawan. Lalu, kita bagi pembilang dan penyebut dengan x pangkat tertinggi yang ada di fungsi. Di soal ini, pangkat tertingginya adalah 1, jadi, kita bagi pembilang dan penyebut dengan x. Piece of Cake.. ^^ ___________________________ ___________________________ ___________________________ ***********************************************************************************
10.	Masihkan dikau ingat dengan rumus penjumlahan 2 sudut sinus dengan cosinus?? ^^ _______________ _______________ _______________ ***********************************************************************************
11.	Nah, ingatkah kamu kalau . Selanjutnya, bentuk ini menjadi sangat mudah dikerjakan. ______________________ ______________________ ______________________ ***********************************************************************************
12.	Karena jika nilai x dimasukkan sudah terdefinisi, maka soal ini langsung bisa dikerjakan dengan substitusi. Duh, ini sebetulnya salah nulis soal sich. Sebetulnya bukan + 1 tapi minus 1.. hohoho. Koreksi Soal: Tentukan nilai . = ______________= ______________= ______________= (wew, ternyata mudah..) ***********************************************************************************
13.	Tinggal samakan penyebut.. Lagi-lagi, soal ini sangatlah mudah. ___________________ ___________________ ___________________ ***********************************************************************************
14.	Semudah mensubstitusi nilai x.. ^^. Karena, caranya memang demikian.. ^^ ***********************************************************************************
15.	Selain dengan pemfaktoran, pake dalil L' Hospital juga bisa.. ^^ ***********************************************************************************
16.	bentuk di atas dapat disusun ulang menjadi: ____________ ____________ ____________ Actually, sebenarnya ini aku salah tulis soal *lagi*, yang bener tuh bukan , tapi seharusnya begini: .. Koreksi Soal: Tentukan nilai Bentuk di atas dapat disusun ulang menjadi: Kemudian, kita kerjakan biasa seperti di nomor 9. Namun, kita juga bisa memakai rumus *cepat* yang diturunkan dari penjabaran biasa: == ***********************************************************************************
17.	Perhatikan bentuk yang aneh ini.. Kita bisa men*transformasikan* nilai x yang mendekati tak hingga menjadi y mendekati nol. ________ ________ Maka, bentuk persamaan di atas menjadi: ***********************************************************************************
18.	Ini memakai konsep euler. Jika masih belum jelas, skip dulu soal ini. Lihat nomor 19. = _______________________= _______________________= _______________________= Kita tentukan nilai dari == = = 0. (atau bisa juga gunakan dalil L'Hospital) _______________________= _______________________= 1 Jadi, 1. ***********************************************************************************
19.	= Perhatikan rumus identitas euler: Maka, untuk mengerjakan soal ini, kita harus berusaha membuat bentuk seperti itu. ***********************************************************************************
20.	Wah, sepertinya ini adalah makanan lezat bagi penggemar dalil L' Hospital.. ^^ __________ __________ Note: bisa juga menggunakan cara lain dengan memisalkan . Maka: Maka: _______________ _______________ _______________ _______________ _______________

=========================================================================
Bagaimana? Apakah kalian bisa mengerjakan 20 nomor di atas dengan *sempurna*?? ^^
Btw, aku mohon maap apabila penjelasan di blog ini kurang jelas (coz, banyak cara yang di-skip juga sih..) .. Silakan kalo mo nanya, bagi yang belum mengerti.. ^^