Teorema Euler

(Pelajari dahulu Fermat's Little Theorem dan Euler Phi Function.)

Fermat's Little Theorem (FLT) bekerja dengan baik jika bilangannya adalah prima. Namun, hal ini kurang memuaskan para matematikawan karena kurang praktis. Bagaimana dengan bilangan komposit?

Tahun 1736, Leonhard Euler berhasil membuktikan FLT. Kemudian, 24 tahun kemudian, FLT digeneralisasi oleh Euler. Selanjutnya generalisasi ini disebut dengan teorema Euler.

Teorema Euler

Untuk positif integer dan adalah integer dimana , maka:

Perhatikan bahwa apabila adalah bilangan prima (), maka FLT berlaku:

Di post ini, kita akan mempelajari bukti teorema ini, sekaligus mengenal kegunaan dari teorema Euler ini terutama dalam menyelesaikan soal kongruensi modulo dengan cepat. :)

=======================================================================

Konsep yang melandasi bukti teorema euler adalah sistem residu yang tereduksi. Perhatikan penjelasan pada kotak di bawah.

Sistem Residu yang tereduksi (reduced residue system) modulo adalah kumpulan bilangan integer yang totatif (koprima) dengan dan tidak ada 2 integer yang mempunyai kelas sisa yang sama.

Contoh 1:
1, 2, 4, 5, 7, 8 adalah sistem residu tereduksi modulo 9.
Perhatikan bahwa . Jadi, jumlah bilangannya harus 6. .
Perhatikan juga bahwa bilangan-bilangan itu harus koprima dengan 9, dan mempunyai kelas sisa yang berbeda satu sama lain.

Contoh 2:
-5, 7, 14, 19, 29, 35 adalah sistem residu tereduksi modulo 9.
Perhatikan bahwa semua bilangannya koprima dengan 9.
Tiap bilangan juga memiliki kelas sisa yang berbeda:
-5 4 (mod 9)____7 7 (mod 9)_____14 5 (mod 9)
19 1 (mod 9)____29 2 (mod 9)____35 8 (mod 9)

Contoh 3:
1, 5, 7, 11, 13 BUKAN sistem residu tereduksi modulo 12, karena jumlah bilangannya ada 5, padahal

Contoh 4:
-7, 11, 13, 17 BUKAN sistem residu tereduksi modulo 12, karena
-7 dan 17 memiliki kelas sisa yang sama.
-7 5 (mod 12). ____17 5 (mod 12)_

Contoh 5:
-7, 11, 13, 51 BUKAN sistem residu tereduksi modulo 12, karena 51 dan 12 bukan koprima.

Teorema

Jika adalah sistem residu yang tereduksi modulo ,
dan adalah integer positif dimana , maka:

juga merupakan sistem residu yang tereduksi modulo .

BUKTI:
(i) Bukti bahwa tiap elemen koprima dengan .
__Karena dan , maka .
(ii) Bukti bahwa tiap dua elemen memiliki kelas sisa yang berbeda.
__Asumsikan bahwa ada dua elemen, misalkan dan yang kongruen modulo .

__Karena , maka:

__Namun, kita tahu bahwa dan inkongruen (karena keduanya berasal dari sistem
__residu tereduksi). Oleh karenanya, kontradiksi dengan asumsi awal.
__Jadi, dan yang inkongruen modulo .

Dari poin (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa juga merupakan sistem residu yang tereduksi modulo . ■

Contoh 6:
1, 3, 5, 7 merupakan sistem residu tereduksi modulo 8.
Karena gcd( 3, 8 ) = 1, maka:
3, 9, 15, 21 juga merupakan sistem residu tereduksi modulo 8.

BUKTI TEOREMA EULER:
Didasarkan pada teorema sebelumnya pada kotak di atas.

Karena juga merupakan sistem residu tereduksi modulo , maka tentunya sisa residu positif dari adalah dalam urutan tertentu (acak).
Dengan mengalikan elemen-elemen tersebut, kita dapatkan:

Karena , maka

TERBUKTI. ■

ILUSTRASI BUKTI:
Dari contoh 6, kita tahu bahwa
1, 3, 5, 7 merupakan sistem residu tereduksi modulo 8.
3.1, 3.3 , 3.5 , 3.7 juga merupakan sistem residu tereduksi modulo 8.
Dengan demikian:

(3.1) (3.3) (3.5) (3.7) 3. 1. 7. 5 (mod 8)

(3.1) (3.3) (3.5) (3.7) 1 . 3 . 5 . 7 (mod 8)
3⁴ (1. 3. 5. 7) 1 . 3 . 5 . 7 (mod 8)

=======================================================================

Contoh 1:
Tentukan digit terakhir dari .

Jawab:
Mencari digit terakhir sama seperti mencari sisanya juga dibagi 10.
Sesuai dengan teorema euler, maka:

Jadi, kita kelompokkan berdasarkan 4.

Digit terakhirnya adalah 1.

Contoh 2:
Berapakah sisa pembagian jika dibagi .

Jawab:
Sesuai teorema Euler,

Maka, kita kelompokkan berdasarkan 24.

Selanjutnya, gunakan cara biasa:

___________

Jadi, sisanya adalah 11.

Contoh 3:
Tentukan solusi kongruensi dari .

Jawab:

Teorema euler berguna untuk mencari invers modulo:

Berarti, adalah invers dari modulo .

Dengan demikian,

Contoh 4:
Jika koprima dengan 32760, buktikan bahwa:

Jawab:
Perhatikan bahwa
Teorema Euler menyatakan bahwa:
__, maka
__, maka
__, maka
__, maka


Karena 8, 9, 5, 7, dan 13 semuanya koprima, maka

Terbukti. ■

Contoh 5:
Jika dan koprima, buktikan bahwa:

Jawab:
Menurut teorema Euler:
(i) , maka
(ii) , maka
Sesuai dengan sifat keterbagian,

Terbukti. ■

=======================================================================

Di post ini, hanya diberikan perhitungan-perhitungan dasar yang melibatkan teorema euler. Dalam prakteknya pun, perhitungan yang melibatkan teorema euler juga merupakan perhitungan dasar seperti di atas. Teorema Euler berguna dalam banyak hal. Salah satunya untuk mempercepat proses enkripsi dan dekripsi dalam kriptografi, sehingga lebih efektif dan efisien . (belum dibahas sekarang).

Dengan teorema Euler, kita juga dapat membuktikan formula eksplisit dari Chinese Remainder Theorem, yang memungkinkan CRT diselesaikan dengan program komputer. Namun, hal itu masih belum dibahas sekarang.

Tunggu kelanjutan post-post berikutnya ya :)

Sumber:
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_theorem
http://www.cut-the-knot.org/blue/Euler.shtml
Buku Elementary Number Theory oleh Kenneth H Rosen.