Bukti Teorema Phytagoras dg Pers Diferensial

Menindaklanjuti comment dari Hendra, yang dipost di SINI, yang bertanya sebagai berikut:

Tolong dong jelasin pembuktian teorema pythagoras dengan menggunakan persamaan diferensial (ga ngerti versi english)

kirim ke email aku ya

thanks b 4

Maka saya akan berusaha menjawabnya di post ini. (Bukan di email, karena kalo di email, males bikin equationnya lagi, n sekalian buat pengetahuan bagi pembaca yang lain. :D)

=========================================================================

Bukti dengan persamaan diferensial sesungguhnya sangatlah mudah. Pertama, gambar segitiga ABC seperti di bawah.

Selanjutnya, ingat konsep bahwa:
"Penambahan suatu variabel x akan menyebabkan penambahan variabel y, karena y terikat dengan x".

Maka, dengan membuat nilai a tetap, kita tambahkan b dengan db (diferensial b). Akibatnya, c juga harus ditambahkan dengan dc (diferensial c). Perlu diketahui bahwa nilai db dan dc ini sesungguhnya mendekati nol (berada dalam konsep limit). Namun, agar terlihat secara jelas secara visual maka kita menggambarkannya agak renggang, seperti di bawah.

Perhatikan bahwa sesungguhnya . Akibatnya, dan keduanya
Karena , maka .
Karena , ini juga berakibat .
Kedua syarat di atas mengakibatkan (sebangun).

Karena sebangun, maka berlaku:

Kali silang menjadi

Integralkan kedua ruas.

Tahap terakhir, yaitu tinggal mencari konstantanya. Perhatikan dari gambar apabila b = 0, maka c harus berhimpit terhadap a. Artinya, c = a. Maka:

Kita sudah dapatkan nilai konstanta. Maka, masukkan konstanta ini ke persamaan sebelumnya, maka kita dapatkan teorema phytagoras.

TERBUKTI.

=========================================================================

Adapun kesalahan yang sering timbul selama pembuktian dengan cara ini adalah orang menganggap bahwa , sehingga mereka langsung menuliskannya:

Pernyataan di atas salah, karena namun . Artinya, peningkatan tersebut tidak sebanding, dan tidak dapat digunakan. Justru, dengan membaliknya, maka kita mendapatkan persamaan yang benar:

Sekian.

Sumber: http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem