Bilangan Kompleks... (ii) {Dalil De Moivre}

Post ini adalah lanjutan dari posting mengenai Mengenal Bilangan Kompleks.. Sebetulnya, aku agak ragu dengan post ini. Pertama, ini adalah materi kuliah.. Pasti banyak dari kalian yang menganggap bahwa ini post yang "menyebalkan". Ada yang bilang bahwa "Matematika itu Sucks". Ada yang bilang bahwa "Matematika itu tidak penting"... Hmm.. Melalui bilangan kompleks kita bisa melihat *keistimewaan matematika* di materi ini. Persamaan euler adalah salah satu contoh hasil dari pengembangan bilangan kompleks.. Yach, bagi yang tidak mau melihat post ini, silakan ditinggalkan. Tapi, bagi yang penasaran akan *keajaiban matematika*, silakan dilanjutkan. ^^

Di sini akan dijelaskan mengenai Dalil De Moivre.. Tapi, alangkah baiknya kalau kita mengenal dulu konsep bilangan kompleks dalam polar.. ^^
=========================================================================

BAGIAN III

BILANGAN KOMPLEKS DALAM POLAR

Perhatikan post sebelumnya!!
z = x+y dapat digambarkan dalam bidang kompleks. Artinya, kita dapat menggambarkannya secara kartesius maupun polar!! Lihat gambar di bawah untuk lebih jelasnya!

Jika titik z digambarkan secara kartesius tentunya kita akan mengatakan bahwa titik itu berada di koordinat (x,y). Namun, jika berbicara di koordinat polar, kita akan mengatakan bahwa titik z berada di (r,), arah dengan panjang r. Di sini, adalah sudut yang dihitung dari sumbu x positif berputar berlawanan dengan arah jarum jam (tentunya ini materi SMA yang sebenarnya tidak perlu dijelaskan lagi).
disebut sebagai argumen z, sedangkan r disebut sebagai modulus (panjang) z.

Notasi:
mod.(z)= r
arg.(z) =

Kembali lihat gambar di atas.

Oleh karena itu,
z_= x+y
z_=
z_=
Disingkat menjadi
z =
Dapat dikatakan juga:

Lihat kembali gambar di atas, bilangan kompleks z = x+y secara geometris dapat dinyatakan cengan vektor posisi.!!

Operasi bilangan kompleks secara geometris dalam bentuk vektor dapat dilakukan sebagai berikut (z1 dan z2 diketahui):

menggambar z1+z2 -> (menggunakan metode jajargenjang biasa..^^)
menggambar z1-z2 -> Ingat bahwa: z1-z2 = z1+(-z1)
menggambar z1.z2 -> Perkalian ini sedikit tricky. Gunakan metode perbandingan. misalkan z = z1.z2 z1.z2 = z z1.z2 = z.1
menggambar z1:z2 -> Gunakan metode perbandingan (seperti waktu kita mengalikan z1.z2)

Catatan: penggambaran perkalian dan pembagian bilangan kompleks dengan vektor tak ada hubungannya dengan arah vektor... Di sini, yang dikaitkan (digunakan) adalah panjang vektor itu.. (Ingat: pada vektor ada pengertian dot dan cross product)..

=========================================================================

BAGIAN IV

DALIL DE MOIVRE

Dengan sistem polar mempermudah perkalian dan pembagian bilangan-bilangan kompleks.
Misalkan kita punya bilangan kompleks z1 dan z2 dimana:


Sekarang, kita akan mencoba mengalikan keduanya...


Lihatlah bagian yang bisa digabung.... Lalu, persamaan itu *secara ajaib* menjadi:

Disingkat menjadi:


Dengan sendirinya, .
Jika , maka kita akan menemukan dalil de Moivre:

n bilangan bulat..

Note: Bagaimana jika kita melakukan pembagian bilangan kompleks z1 dan z2? Maka, akan menghasilkan rumus: .. Cobalah sendiri.. ^^

Catatan: Perkalian-perpangkatan/pengambilan akar-pembagian bilangan-bilangan kompleks akan cepat dilakukan dengan menggunakan sistem polar, apabila argumen-argumen bilangan kompleks tersebut merupakan sudut-sudut kelipatan dari atau .

Contoh Soal 1:
.
Hitunglah .

Jawab:
Seandainya kita tidak mau menggunakan dalil de Moivre pun, kita bisa mengerjakan soal ini secara *tradisional*.. Yaitu dengan mengalikannya satu per satu.
= = =

Nah, bagaimana jika kita ingin mengerjakannnya secara dalil de Moivre? Akan lebih mengerti jika kita menggambar titik z itu.. (Ini supaya kita lebih mengerti saja.. Tapi, tidak mutlak)

r = =
----> (karena terletak di kuadran 4...)



= .
Hasilnya sama, bukan?

Contoh Soal 2:

Hitunglah .

Jawab:
Soal di atas dapat dikerjakan dengan mengalikan z sebanyak 7 kali.. Tapi, itu sangat buang-buang waktu.. Jadi, kita akan menggunakan dalil de Moivre..
Langkahnya sama seperti nomor 1. Hitung r dan , lalu tinggal masuk ke rumus. ^^

Jadi,



.

Contoh Soal 3:

Tentukan nilai z.

Jawab:
Masih ingatkan notasi ini: .
Hal ini juga berlaku untuk , maka persamaan di atas menjadi

Soal di atas dapat ditulis dalam bentuk: .

+ (di mana n =0,1,2,3,...)

Ingat Dalil De Moivre .. Jika n=3, maka:
---> ---> ---> .
---> ---> = --->
Oleh karena itu, kita sekarang sudah mendapatkan z.
z = = = .
Dengan mensubstitusikan nilai n=0,1,2, maka kita akan mendapatkan 3 nilai z.
= = = 2
= = =
= = =

=========================================================================
Selesai sudah bagian Dalil De Moivre, bilangan kompleks bagian kedua...!! XD
Mudah bukan?? Post ini adalah revisi kedua, setelah sebelumnya ada kesesatan menggunakan dalil De Moivre di mana nilai n-nya boleh pecahan (di contoh soal nomor 3 dan 4).. Ingat, dalil de Moivre hanya berfungsi jika n adalah bilangan bulat.. So, post ini aku rombak ulang agar tidak menggunakan cara yang menyesatkan (meskipun jawaban di post sebelumnya tidak salah, namun ini hanya di dalam kasus khusus yang demikian, dan tidak akan dibahas di sini.) ^^

Lihat juga post berikutnya tentang "Bukti: Persamaan Euler"
Ada yang ingin ditanyakan??

Sumber: Kalkulus I (Wikaria Gazali), dosen tercinta di Universitas Bina Nusantara.. ^^