Everything About Math: Dalil Stewart

Wew... Ternyata dalil ini sungguh sangat berguna dalam menyelesaikan berbagai masalah dalam garis-garis segitiga. Contohnya pada soal berikut:

Contoh Soal:
Jika AB = 10 cm, CB = 12 cm, AC = 6 cm, dan DB = 7 cm, maka berapakah panjang CD?
(jangan dijawab di sini doeloe yach)... ^^

Sebelum mengenal dalil Steward, alangkah baiknya kalau kita mengenal apa itu proyeksi.
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Mengenal Proyeksi
Hmm. Perhatikan gambar berikut.
Jika ruas garis AB diproyeksikan ke garis l, maka hasilnya adalah sebagai berikut.
Dari gambar di atas, AA' tegak lurus terhadap garis l dan BB' tegak lurus terhadap garis l. A'B' adalah proyeksi AB pada l.

Sedangkan, apabila ruas garis l diproyeksikan terhadap AB, maka hasilnya adalah sebagai berikut.

Pada gambar di atas, ruas garis yang berwarna merah adalah proyeksi ruas garis l terhadap AB.
Tentunya, dari kedua contoh di atas, kalian sudah tahu istilah proyeksi bukan.? Jadi, proyeksi itu seperti memetakan suatu daerah secara tegak lurus terhadap daerah lainnya. Begitu loh... ^^

Contoh soal 1:
Tentukan proyeksi dari:

a. AB pada BC
b. BC pada AC
c. AB pada AC
d. AC pada BC
e. BC pada AB
f. AC pada AB

Jawab: a. BD; b. CE; c. AE; d. CD; e. BF; f. AF.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Rumus Proyeksi Pada Segitiga Lancip

Perhatikan gambar di samping!
$\triangle$ ABC adalah segitiga lancip.
CF $\perp$ AB (CF=garis tinggi)
AF = p(proyeksi AC pada AB), maka BF = c-p

________

Perhatikan $\triangle$ ACF
t^2=b^2-p^2

Perhatikan $\triangle$ BCF
t^2=a^2-BF^2

__________

Sehingga:

$\usepackage{cancel} b^2-\cancel{p^2}=a^2-c^2+2cp-\cancel{p^2}$

$p=\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}$

==>rumus proyeksi AC pada AB
___pada segitiga lancip

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Rumus Proyeksi Pada segitiga Tumpul

Perhatikan gambar di samping!
$\triangle$ ABC adalah segitiga tumpul.
CF $\perp$ AB (CF=garis tinggi)
AF = p (proyeksi AC pada AB).

________

Perhatikan $\triangle$ ACF
t^2=b^2-p^2

Perhatikan $\triangle$ BFB
t^2=a^2-BF^2

__________

Sehingga:

$\usepackage{cancel} b^2-\cancel{p^2}=a^2-c^2-2cp-\cancel{p^2}$
-2cp=b^2+c^2-a^2

$p=-\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}\right)$

==>rumus proyeksi AC pada AB
___pada segitiga tumpul

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Dalil Stewart

Nah, sekarang baru kita akan membahas dalil Stewart. Kenapa kita harus terlebih dahulu tahu tentang proyeksi?? Karena dalil Stewart menggunakan dasar rumus tersebut... Let's check it out..!!! XDXDXD

ABC adalah segitiga sembarang. D adalah sembarang titik pada sisi AB. AD= c_1

dan DB =

.
Jika a, b, c, c_1

, dan

diketahui, maka panjang CD (l) dapat dihitung sebagai berikut.

Perhatikan $\triangle$ ACD,
$p=\frac{c_1^2+\overline{CD}^2-b^2}{2c_1}$
Perhatikan $\triangle$ BCD,
$p=-\left(\frac{c_2^2+\overline{CD}^2-a^2}{2c_2}\right)$

Gabungkan keduanya, maka:

$\frac{c_1^2+\overline{CD}^2-b^2}{2c_1}=-\left(\frac{c_2^2+\overline{CD}^2-a^2}{2c_2}\right)$

Kali silang, lalu bagi dengan 2, maka:

$c_2c_1^2+c_2\overline{CD}^2-c_2b^2=-c_1c_2^2-c_1\overline{CD}^2+c_1a^2$

$(c_1+c_2)\overline{CD}^2=c_1a^2+c_2b^2-c_1c_2^2-c_1^2c_2$

$\overline{CD}^2.(c_1+c_2)=c_1a^2+c_2b^2-c_1c_2(c_1+c_2)$

Ingat bahwa c_1+c_2=c

, maka:

$\overline{CD}^2.c=c_1a^2+c_2b^2-c_1c_2c$

Rumus di atas itulah yang sering dikenal debagai dalil Stewart.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Contoh Soal 2:

Jika AB = 10 cm, CB = 12 cm, AC = 6 cm, dan DB = 7 cm, maka berapakah panjang CD?

Jawab:
$AB\overline{CD}^2=AD.BC^2+BD.AC^2-AD.BD.AB$
$10.\overline{CD}^2=3.12^2+7.6^2-3.7.10$
$10.\overline{CD}^2=474$
$\overline{CD}=\sqrt{47,4}$
$\overline{CD}=\text{6,88}$ _________==> menggunakan kalkulator.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Selanjutnya, dalil Stewart sangat terpakai terutama untuk menghitung panjang garis-garis istimewa pada segitiga. Silakan cek bagian "Garis-Garis Istimewa pada Segitiga", untuk melihat sambungan/lanjutan materi ini. ^^

19 comments:

AnonymousOctober 10, 2008 at 11:02 AM
Hm, kreatif banget sich..^_^ pokok saya tunggu tambaahan ilmu matematikanya dech...
AnonymousNovember 15, 2008 at 2:32 PM
hohoho..^_^
slah satu pecinta metematika jg y?!
sama dunkk...
ku tunggu hal" lain ttg math..
AnonymousJanuary 7, 2009 at 6:15 AM
ssssss said
Ya cukup membantu, teruskan and thanks
AnonymousJanuary 9, 2009 at 11:04 AM
salut ......
boleh nanya ga?kalo mw nyari luas lingkaran ga beraturan gmn y?kalo tau send dunk ke rafsan_mail@yahoo.com, aq kbtulan lg test kompre.....se x lg salut buat info nya....
thx so much......
hendry_dextJanuary 9, 2009 at 10:20 PM
Hihi.. Lingkaran itu khan pasti beraturan. Kalo ngak beraturan, bukan lingkaran lagi donkx.. Hohoho.. XDXD.. Hmm. Aku kurang jelas sih maksudnya.. Gak beraturan yang kayak gmana ya..
AnonymousApril 18, 2009 at 1:37 AM
SORY BOSS KEMAREN q lg error abiz, maksudnya bukan lingkaran tp luas ga beraturan. kalo di jurusanku (teknik sipil) pake planimetri.kalo rumusnya kira-kira pake metode apa y?aq udh nyoba pake integral per pias tp ribet hitungannya. thax's buat pencerahannya......
salut 2 ur blog......
AnonymousDecember 23, 2009 at 7:17 PM
wah, keren pak, makacih banyak ya.....
delaMarch 25, 2010 at 11:15 AM
wah keren bgt.. dalil stewart.... bisa menyelesaikan soal beribu-ribu tipe.
AnonymousApril 25, 2010 at 10:57 PM
ini ngebantu aku untuk ngebuat presentasi matematika bangeeeeeeet.. makasiih
AnonymousMay 11, 2010 at 11:33 AM
wuoo..keren.
oonMay 17, 2010 at 10:57 AM
dalil stewart tu pa ia? tlong jlsin..
AnonymousJune 6, 2010 at 6:51 PM
untuk lingkaran yang tidak beraturan pakenya integral, soalnya yang kurang beraturan merupakan penjumlahan dlm bentuk segitiga,...
AnonymousNovember 11, 2010 at 2:07 PM
like this ^^

salam fikhri-matematika UNPAD.
AnonymousApril 25, 2011 at 11:50 AM
THX bgt :D
sangat Ngebantu gue.
geniusSeptember 10, 2011 at 12:23 PM
kok bnyak yg error
zholiehNovember 27, 2011 at 11:02 AM
Makasih infonya, semangat ngeblog matematika.
Dumatika.com
AnonymousMay 22, 2012 at 9:01 AM
thankies cinta mati gue ama page ini
UnknownMarch 7, 2013 at 4:06 PM
waah ini sangat membantu saya buat ngajar matematika smp, apalagi saya bukan dari jurusan matematika.. hehehee
AnonymousAugust 31, 2015 at 1:55 AM
websitenya ngga mobile friendly ._."
jadi kemana2 rumusnya.. padahal kayanya rumusnya beneran pake yg itu. huhu

Friday, October 3, 2008

Dalil Stewart

19 comments:

Categories

Blog Archieve