Makanan Otak ...(iii) {1/m + 1/n = 1/2008}

Mumpung tahun 2008 belum lewat, artinya soal ini masih layak donkx... ^^

Tentukan bilangan bulat positif m dan n yang memenuhi persamaan berikut.

Post sudah diupdate dengan jawaban.. ^^

===========================================================================
Maap, kalo solusinya udah lama baru dipost.. Soalnya, bikin latex itu sussah (merepotkan sih, tapi ngak susah) banget. Jadi, agak males... ~~a.. Maap2.. Solusinya mudah..

Kita tulis ulang soalnya:

Dengan mengalikan (mn) di kedua ruas, bentuk itu dapat diubah menjadi:

Kemudian, ikuti langkah-langkah berikut:

... (*)

CEK KONDISI POSITIF
Nah, di soal diberitahukan bahwa n adalah bilangan bulat positif, maka:

(dari hasil itu, ternyata secara otomatis syarat untuk m bilangan positif juga terpenuhi.. ^^)

CEK KONDISI BILANGAN BULAT
Sekarang, perhatikan bahwa: m dan n adalah bilangan bulat.. (Lihat persamaan (*)). Agar n bilangan bulat, maka haruslah bilangan bulat. Karena itu, (m-2008) haruslah merupakan bilangan bulat yang merupakan faktor dari .

Artinya, dari kedua kondisi itu, m haruslah bilangan bulat yang lebih besar dari 0 dan (m-2008) merupakan faktor dari ( yang dapat dijabarkan menjadi ).

Maka, kemungkinan untuk (m-2008) adalah 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 251, 502, 1004, 2008, 4016, 8032, 16064, 63001, 126002, 252004, 504008, 1008016, 2016032, 4032064.

Maka, kemungkinan untuk m, cukup tambahkan 2008 dari nilai-nilai di atas.
Jadi, kemungkinan untuk m adalah 2009, 2010, 2012, 2016, 2024, 2040, 2072, 2259, 2510, 3012, 4016, 6024, 10040, 18072, 65009, 128010, 254012, 506016, 1010024, 2018040, 4024072.

Jadi, sekarang kita sudah emperoleh semua nilai m. Tinggal dimasukkan di , maka nilai n akan didapat.

Berikut akan ditunjukkan semua pasangan m dan n.

m	n
2009	4034072
2010	2018040
2012	1010024
2016	506016
2024	254012
2040	128010
2072	65009
2259	18072
2510	10040
3012	6024
4016	4016
6024	3012
10040	2510
18072	2259
65009	2072
128010	2040
254012	2024
506016	2016
1010024	2012
2018040	2010
4034072	2009

Jadi,kalau ditanya, berapa nilai terkecil (m+n), jawabnya adalah m=4016, dan n=4016.. ^^

===========================================================================
Sekian pembahasan Makanan Otak Kali ini.. Maap kalo angkanya agak jelek dan buanyyyakk... ~~a..
Click Here to Read More..

Bukti: Dalil Sinus dan Cosinus

Akhirnya ujian tengah semester ini berakhir juga.. Kembali blogging dan bagi2 ilmu lagii.. ^^. Sekarang kita akan mengenal apa itu dalil sinus dan cosinus.. Look at the picture.! ^^

Tentunya, jika kalian di SMA, pernah donk ketemu dengan dalil yang bunyinya begini:
Dalil Sinus:

Dalil Cosinus:

Fokus kita sekarang berusaha menemukan asal usul rumus tersebut.. Padahal rumus itu sangat mudah didapat. Dalil sinus dapat ditemukan dari rumus luas segitiga, sedangkan dalil cosinus didapat dari rumus phytagoras... Let's check it out.. ^^

=========================================================================

Bukti Dalil Sinus

Dalil Sinus dapat diturunkan dari rumus luas segitiga.. Cek posting sebelumnya.!

... (i)
... (ii)
... (iii)

Ada tiga rumus Luas segitiga (ketiganya hanya beda simbol).. Di sini, variabel Luas akan kita eliminasikan. Perhatikan langkah berikut.
Gabung persamaan (i) dan (ii)
, maka hasilnya adalah =

Gabung Persamaan (i) dan (ii)
, maka hasilnya adalah =

Gabung persamaan (ii) dan (iii)
, maka hasilnya adalah =

Karena ketiganya saling terhubung, maka

Terbukti

=========================================================================

Bukti Dalil Cosinus

Pertama, buat garis tinggi dari salah satu titik, lalu tinggal dibuat seperti gambar di bawah.

Tentunya, jangan bingung dari mana angka itu berasal. Pertama a cos C dan a sin C dapat dengan mudah ditentukan dengan aturan trigonometri. Sisanya, seharusnya sudah terjawab.
Maka, untuk menentukan panjang garis c dapat dicari dengan rumus phytagras biasa:

Ingat bahwa , maka:

Terbukti

Untuk mencari rumus atau , itu hanya beda simbol saja. Tinggal mengganti garis tinggi dari titik A dan C saja.. ^^
=========================================================================
Just another trick.. ^^
Click Here to Read More..

Bukti: Luas Segitiga = 1/2a.b.sinC

Pernahkah kamu melihat rumus luas segitiga seperti di bawah?

Rumus Luas segitiga ini sering dipakai, namun, kadang banyak orang tidak mengetahui bagaimana penurunannya.. Langsung saja kita lihat bagaimana contoh penggunaannya.
Contoh Soal:

Segitiga ABC dengan panjang a=5 cm, dan b =6 cm. Sudut di titik C adalah 200. Maka, tentukan luas segitiga tersebut! Jawab: (menggunakan kalkulator)

Note: a, b, dan c sesungguhnya hanya masalah simbol. Yang esensi dari rumus ini yaitu kita bisa mencari luas segitiga jika diketahui:
*) 2 sisi segitiga, dan
*) sebuah sudut yang diapit kedua sisi tersebut.
=========================================================================

Bukti Rumus

Penurunannya sangat mudah.. Lihat segitiga di bawah.

Jika dari segitiga di atas yang dketahui hanyalah sisi a, b, dan sudut C, maka, untuk mencari luas di atas gunakan rumus segitiga biasa:

Ingat bahwa (aturan sinus), maka . Substitusikan ke persamaan sebelumnya, maka diperoleh rumus seperti yang di atas.

Terbukti.

=========================================================================
Hmmm.. Not so difficult.. Anehnya, banyak murid SMA yang tidak tahu dari mana rumus ini berasal... =.="
Click Here to Read More..