Ikut OSN PTI Pertamina Yukk :)

OSN-PTI (Olimpiade Sains Nasional - Perguruan Tinggi Indonesia) merupakan ajang kompetisi sains di bidang Matematika, Fisika, dan Kimia antar mahasiswa tingkat nasional yang digelar Pertamina sebagai bagian dari kegiatan tanggung jawab sosial perusahaan (Corporate Social Responsibility/CSR) bidang pendidikan. Ajang berhadiah total uang tunai Rp 2 miliar lebih ini akan menghasilkan kandidat yang akan maju ke olimpiade internasional.

OSN-PTI 2009 merupakan penyelenggaraan yang kedua kali. Pada penyelenggaraan pertama (2008), jumlah pesertanya mencapai 4.666 mahasiswa. Untuk tahun ini, berdasarkan tingginya antusiasme mahasiswa, total peserta se-Indonesia diharapkan bisa mencapai 10 ribu peserta. Apalagi, penyelenggaraan tahun ini sudah diperluas dibandingkan tahun sebelumnya.

Syarat Peserta?
Asal kamu adalah mahasiswa minimal semester 3, kamu bisa ikut. Gratis. :)

Bagaimana Cara untuk Ikut?
Cukup berikan surat pengantar dari universitas (bisa Kajur, Dekan, atau Rektor), terus isi formulir pendaftaran online di www.osnpti.com.. Mudah kan?

Pendaftaran dan Seleksi
Pendaftaran : 5 September – 26 Oktober 2009
Seleksi Peserta Tingkat Daerah : 3 Nopember 2009
Seleksi Peserta Tingkat Pusat & Final : 4 – 9 Desember 2009

Untuk lebih jelasnya, silakan lihat di www.osnpti.com.
Ikut ya, semua. Gak ada ruginya kan ikut lomba gratis dan berhadiah? :))

Click Here to Read More..

Menghitung Super Cepat

Di Toko-toko buku, seperti Gramedia, dijual buku sulap yang ditulis Deddy Corbuzier; Book of Magic. Harganya lumayan mahal, Rp148.000,00, namun lumayan bagus. Isi bukunya adalah berbagai sulap sederhana yang menarik.

Ada trik sulap "Menghitung Super Cepat".

Bagaimana memainkannya?
Sebelum memainkannya, persiapkan dahulu 4 buah kartu yang diisi dengan angka-angka sebagai berikut.

Di bagian belakang masing-masing kartu juga diisi angka:

Penjelasan: 3 8 6 4 7 adalah bagian belakang dari kartu 2 2 3 9 6, dan seterusnya.

=======================================================================

Cara memainkannya sangat *sangat* sederhana. Panggilkan salah satu temanmu untuk ikut serta. Dia bebas mengacak keempat kartu itu dalam urutan yang bagaimana pun. Setelah temanmu itu selesai mengacak keempat kartu, maka sediakan kertas coret untuk menghitung jumlah semua angka itu dari atas ke bawah.

Contoh ilustrasi:

Dapat kita lihat bahwa jumlahnya adalah 24590. Silakan cek di kalkulator. Setiap urutan yang berbeda akan menghasikan jawaban yang berbeda pula.

Sementara kamu terlihat mencoret-coret di kertas, suruhlah temanmu itu untuk ikut menghitung. Yang pasti, bagaimana pun caranya, kamu akan dapat menghitung dengan tepat dan cepat. Bahkan lebih cepat dari kalkulator.!!

Bagaimana cara (rahasianya)??????? Lihat lanjutannya di bawah..
=======================================================================

Cukup sederhana.

Tambahkan baris kedua dengan 22220

Dari contoh di atas, artinya kita cukup menghitung 22220 + 2370 = 24590

Coba kita lihat contoh dengan urutan yang berbeda:

Hasilnya adalah 22220 + 2130 = 24350.

Note:
Permainan ini harus dilakukan dalam situasi yang tepat. Anda harus serius. Jangan pernah mengatakan bahwa ini hanya permainan sulap. Jangan pernah menyebut kata "sulap". Jika demikian, efek permainan tidak ada gunanya.

Jangan lakukan permainan ini seperti permainan anak bayi. Artinya, jangan buat penonton merasa permainan ini terlalu mudah. Oleh karenanya, terlihatlah serius menghitung di kertas. Tulis semua coret-coretan yang sebetulnya tidak berguna bagi Anda (hanya sebagai aksesoris). Jangan terlalu cepat menghitung. Sekali-kali kegagalan juga diperlukan untuk membuat efek dramatis.

Mengapa harus ditambahkan 22220? Siapa penemu urutan ajaib ini? Mengapa bisa demikian? Semua pertanyaan ini tidak dijawab sekarang. Ini juga masih menjadi pertanyaan bagi saya. :)

Terdapat cara untuk menyusun urutan kartu-kartu tersebut. Jadi, akan mustahil untuk menghapal semua jawabannya :)

Sumber: Buku BOOK OF MAGIC oleh Deddy Corbuzier.

Click Here to Read More..

Kumpulan Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2002-2009

Berikut adalah kumpulan Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tingkat Provinsi tahun 2002-2009.

Judul File	Ziddu	Rapidshare
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2002	Download	Download
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2003	Download	Download
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2004	Download	Download
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2005	Download	Download
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2006	Download	Download
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2007	Download	Download
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2008	Download	Download
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2009	Download	Download

Kumpulan Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2002-2009

Download

Download

Kumpulan soal di atas tentunya tidak terlepas dari jasa orang-orang baik pelatih olimpiade maupun peserta olimpiade. Mereka mau berbagi solusi dan men-sharenya ke publik.

Jangan lupa mengerjakan sesudah mendownload. Jangan hanya dilihat. :)
Lihat juga Kumpulan Soal dan Solusi Olimpiade Matematika pada tingkat Kota.
Click Here to Read More..

Kumpulan Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Kota 2002-2007

Olimpiade Matematika tingkat SMA dimulai dari seleksi tingkat kabupaten/ kota, kemudian provinsi, nasional, dan terakhir tingkat internasional. Kita dapat menyebut OSK untuk tingkat kota. OSP untuk provinsi. OSN untuk nasional dan IMO untuk Olimpiade internasional. Tentunya, olimpiade sains ada banyak bidang, termasuk matematika.

Tentunya, untuk bisa mencapai tingkat Nasional bahkan internasional, tidak ada jalan pintas selain belajar dengan latihan dan latihan.

Berikut adalah kumpulan Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tingkat Kota tahun 2002-2009.

Judul File	Ziddu	Rapidshare
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Kota 2002	Download	Download
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Kota 2003	Download	Download
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Kota 2004	Download	Download
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Kota 2005	Download	Download
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Kota 2006	Download	Download
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Kota 2007	Download	Download

Kumpulan Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Kota 2002-2007

Download

Download

Kumpulan soal di atas tentunya tidak terlepas dari jasa orang-orang baik pelatih olimpiade maupun peserta olimpiade. Mereka mau berbagi solusi dan men-sharenya ke publik. Jadi, jangan terima kasih ke saya. :)

Jangan lupa mengerjakan sesudah mendownload. Jangan hanya dilihat. :)
Lihat juga Kumpulan Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tingkat Provinsi 2002-2009.
Click Here to Read More..

Teorema Euler

(Pelajari dahulu Fermat's Little Theorem dan Euler Phi Function.)

Fermat's Little Theorem (FLT) bekerja dengan baik jika bilangannya adalah prima. Namun, hal ini kurang memuaskan para matematikawan karena kurang praktis. Bagaimana dengan bilangan komposit?

Tahun 1736, Leonhard Euler berhasil membuktikan FLT. Kemudian, 24 tahun kemudian, FLT digeneralisasi oleh Euler. Selanjutnya generalisasi ini disebut dengan teorema Euler.

Teorema Euler

Untuk positif integer dan adalah integer dimana , maka:

Perhatikan bahwa apabila adalah bilangan prima (), maka FLT berlaku:

Di post ini, kita akan mempelajari bukti teorema ini, sekaligus mengenal kegunaan dari teorema Euler ini terutama dalam menyelesaikan soal kongruensi modulo dengan cepat. :)

=======================================================================

Konsep yang melandasi bukti teorema euler adalah sistem residu yang tereduksi. Perhatikan penjelasan pada kotak di bawah.

Sistem Residu yang tereduksi (reduced residue system) modulo adalah kumpulan bilangan integer yang totatif (koprima) dengan dan tidak ada 2 integer yang mempunyai kelas sisa yang sama.

Contoh 1:
1, 2, 4, 5, 7, 8 adalah sistem residu tereduksi modulo 9.
Perhatikan bahwa . Jadi, jumlah bilangannya harus 6. .
Perhatikan juga bahwa bilangan-bilangan itu harus koprima dengan 9, dan mempunyai kelas sisa yang berbeda satu sama lain.

Contoh 2:
-5, 7, 14, 19, 29, 35 adalah sistem residu tereduksi modulo 9.
Perhatikan bahwa semua bilangannya koprima dengan 9.
Tiap bilangan juga memiliki kelas sisa yang berbeda:
-5 4 (mod 9)____7 7 (mod 9)_____14 5 (mod 9)
19 1 (mod 9)____29 2 (mod 9)____35 8 (mod 9)

Contoh 3:
1, 5, 7, 11, 13 BUKAN sistem residu tereduksi modulo 12, karena jumlah bilangannya ada 5, padahal

Contoh 4:
-7, 11, 13, 17 BUKAN sistem residu tereduksi modulo 12, karena
-7 dan 17 memiliki kelas sisa yang sama.
-7 5 (mod 12). ____17 5 (mod 12)_

Contoh 5:
-7, 11, 13, 51 BUKAN sistem residu tereduksi modulo 12, karena 51 dan 12 bukan koprima.

Teorema

Jika adalah sistem residu yang tereduksi modulo ,
dan adalah integer positif dimana , maka:

juga merupakan sistem residu yang tereduksi modulo .

BUKTI:
(i) Bukti bahwa tiap elemen koprima dengan .
__Karena dan , maka .
(ii) Bukti bahwa tiap dua elemen memiliki kelas sisa yang berbeda.
__Asumsikan bahwa ada dua elemen, misalkan dan yang kongruen modulo .

__Karena , maka:

__Namun, kita tahu bahwa dan inkongruen (karena keduanya berasal dari sistem
__residu tereduksi). Oleh karenanya, kontradiksi dengan asumsi awal.
__Jadi, dan yang inkongruen modulo .

Dari poin (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa juga merupakan sistem residu yang tereduksi modulo . ■

Contoh 6:
1, 3, 5, 7 merupakan sistem residu tereduksi modulo 8.
Karena gcd( 3, 8 ) = 1, maka:
3, 9, 15, 21 juga merupakan sistem residu tereduksi modulo 8.

BUKTI TEOREMA EULER:
Didasarkan pada teorema sebelumnya pada kotak di atas.

Karena juga merupakan sistem residu tereduksi modulo , maka tentunya sisa residu positif dari adalah dalam urutan tertentu (acak).
Dengan mengalikan elemen-elemen tersebut, kita dapatkan:

Karena , maka

TERBUKTI. ■

ILUSTRASI BUKTI:
Dari contoh 6, kita tahu bahwa
1, 3, 5, 7 merupakan sistem residu tereduksi modulo 8.
3.1, 3.3 , 3.5 , 3.7 juga merupakan sistem residu tereduksi modulo 8.
Dengan demikian:

(3.1) (3.3) (3.5) (3.7) 3. 1. 7. 5 (mod 8)

(3.1) (3.3) (3.5) (3.7) 1 . 3 . 5 . 7 (mod 8)
3⁴ (1. 3. 5. 7) 1 . 3 . 5 . 7 (mod 8)

=======================================================================

Contoh 1:
Tentukan digit terakhir dari .

Jawab:
Mencari digit terakhir sama seperti mencari sisanya juga dibagi 10.
Sesuai dengan teorema euler, maka:

Jadi, kita kelompokkan berdasarkan 4.

Digit terakhirnya adalah 1.

Contoh 2:
Berapakah sisa pembagian jika dibagi .

Jawab:
Sesuai teorema Euler,

Maka, kita kelompokkan berdasarkan 24.

Selanjutnya, gunakan cara biasa:

___________

Jadi, sisanya adalah 11.

Contoh 3:
Tentukan solusi kongruensi dari .

Jawab:

Teorema euler berguna untuk mencari invers modulo:

Berarti, adalah invers dari modulo .

Dengan demikian,

Contoh 4:
Jika koprima dengan 32760, buktikan bahwa:

Jawab:
Perhatikan bahwa
Teorema Euler menyatakan bahwa:
__, maka
__, maka
__, maka
__, maka


Karena 8, 9, 5, 7, dan 13 semuanya koprima, maka

Terbukti. ■

Contoh 5:
Jika dan koprima, buktikan bahwa:

Jawab:
Menurut teorema Euler:
(i) , maka
(ii) , maka
Sesuai dengan sifat keterbagian,

Terbukti. ■

=======================================================================

Di post ini, hanya diberikan perhitungan-perhitungan dasar yang melibatkan teorema euler. Dalam prakteknya pun, perhitungan yang melibatkan teorema euler juga merupakan perhitungan dasar seperti di atas. Teorema Euler berguna dalam banyak hal. Salah satunya untuk mempercepat proses enkripsi dan dekripsi dalam kriptografi, sehingga lebih efektif dan efisien . (belum dibahas sekarang).

Dengan teorema Euler, kita juga dapat membuktikan formula eksplisit dari Chinese Remainder Theorem, yang memungkinkan CRT diselesaikan dengan program komputer. Namun, hal itu masih belum dibahas sekarang.

Tunggu kelanjutan post-post berikutnya ya :)

Sumber:
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_theorem
http://www.cut-the-knot.org/blue/Euler.shtml
Buku Elementary Number Theory oleh Kenneth H Rosen.

Click Here to Read More..