Everything About Math: September 2008

Saturday, September 27, 2008

Luas Lingkaran dan Oval

Posted by hendry_dext

Luas lingkaran itu $\pi r^2$ . Dari manakah rumus itu berasal.? Tak akan ada lagi yang sulit dalam menentukan luas suatu daerah (yang dapat ditulis dalam bentuk persamaan matematika) sejak ditemukannya konsep integral.. Hmm.. Makanya, di sini, akan diberikan penurunan rumus lingkaran dan oval (yang tentunya akan lebih mudah dihapal ketimbang diturunkan).

$\text{Luas lingkaran} = \pi r^2$

Luas Oval = $\pi r_1r_2$
(Lihat pembahasan lebih lanjut) ^^

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Bukti/ Penurunan Rumus Luas Lingkaran

Anggap lingkaran itu berpusat di titik O dengan jari-jari r. Maka persamaan garisnya adalah:

Jika fungsi tersebut dieksplisitkan, maka menjadi:

$y=\pm \sqrt{r^2-x^2}$

Maka, luasnya dapat ditentukan dari rumus berikut:

$\text{Luas} = \int_{\text{batas bawah}}^{\text{batas atas}} f(x) dx$

Batas bawahnya adalah x = -r, sedangkan batas atasnya adalah x = r. Karena, -r ke 0 itu simetris dengan dari 0 ke r, maka luasnya tinggal dikali 2.
f(x)-nya adalah $\pm \sqrt{r^2-x^2}$ . Karena di bawah sumbu x dan di atas sumbu x itu bangunnya simetris, maka luasnya cukup dikali 2. Kita gunakan tanda yang + saja.

$\text{Luas}=4\int_0^r \sqrt{r^2-x^2}dx$

Bentuk ini harus menggunakan identitas trigonometri.

$\cos\theta = \frac{\sqrt{r^2-x^2}}{r}$
$\sqrt{r^2-x^2}}= r \cos\theta$

$\sin\theta=\frac{x}{r}$

diturunkan, maka hasilnya:

$r\cos\theta d\theta= dx$

$\theta=\arcsin{\frac{x}{r}}$

Maka, sekarang, rumus Luas menjadi:

$\text{Luas}=4\int_0^r (r\cos\theta) (r \cos \theta d\theta)$

$\text{Luas}=4r^2\int_0^r \cos^2\theta d\theta$

Ingat:

$\cos2\theta=2\cos^2\theta -1$

$\cos^2\theta = \frac{\cos2\theta+1}{2}$

$\text{Luas}=4r^2\int_0^r \frac{\cos 2\theta +1}{2}d\theta$

$\text{Luas}=2r^2\int_0^r (\cos 2\theta +1)d\theta$

$\text{Luas}=2r^2\left[ \frac{1}{2}\sin 2\theta +\theta)\right]_0^r$

$\text{Luas}=2r^2\left[ \sin\theta\cos\theta +\theta)\right]_0^r$

$\text{Luas}=2r^2\left[\frac{x}{r}\frac{\sqrt{r^2-x^2}}{r} +\arcsin{\frac{x}{r}}\right]_0^r$

$\text{Luas}=2r^2(0+\arcsin 1 - \arcsin 0)$

$\text{Luas}=2r^2\frac{\pi}{2}$

$\text{Luas}=\pi r^2$
----- Terbukti -----

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Bukti/ Penurunan Rumus Luas Oval

Bukti rumus luas oval sesungguhnya tidak jauh berbeda dari penurunan rumus luas lingkaran.
Dari gambar di atas, dapat ditulis persamaan oval:

$\frac{x^2}{r_1^2}+\frac{y^2}{r_2^2}=1$

Jika fungsi tersebut dieksplisitkan maka menjadi:

$y=\pm\sqrt{r_2^2-\left(\frac{r_2}{r_1}x\right)^2}$

Maka luasnya adalah:

$\text{Luas} = 4\int_0^{r_1}\sqrt{r_2^2-\left(\frac{r_2}{r_1}x\right)^2}dx$

Gunakan identitas identitas trigonometri:

$\cos\theta = \frac{\sqrt{r_2^2-\left(\frac{r_2}{r_1}x\right)^2}}{r_2}$

$\sqrt{r_2^2-\left(\frac{r_2}{r_1}x\right)^2} = r_2\cos\theta$

$\sin\theta= \frac{r_2x}{r_1}\times \frac{1}{r_2} = \frac{x}{r_1}$

diturunkan, maka hasilnya:

$r_1\cos\theta d\theta = dx$

$\theta = \arcsin{\frac{x}{r_1}}$

Maka, sekarang rumus luas menjadi:

$\text{Luas}= 4 \int_0^{r_1} (r_2 \cos\theta) (r_1 \cos \theta d\theta)$

$\text{Luas}= 4 r_1 r_2 \int_0^{r_1} \cos^2\theta d\theta$

Ingat rumus $\cos^2\theta = \frac{\cos2\theta+1}{2}$ , maka:

$\text{Luas}= 2 r_1 r_2 \int_0^{r_1} (\cos2\theta +1)d\theta$

$\text{Luas}= 2 r_1 r_2 \left[ \frac{1}{2} \sin 2\theta + \theta \right]_0^{r_1}$

$\text{Luas}= 2 r_1 r_2 \left[ \sin \theta \cos\theta + \theta \right]_0^{r_1}$

$\text{Luas}= 2 r_1 r_2 \left[ \frac{x}{r_1}\times \frac{\sqrt{r_2^2-\left(\frac{r_2}{r_1}x\right)^2}}{r_2} + \arcsin{\frac{x}{r_1}} \right]_0^{r_1}$

$\text{Luas}= 2 r_1 r_2 \left[ 0 + \arcsin{1} - \arcsin 0} \right]$

$\text{Luas}= 2 r_1 r_2\frac{\pi}{2}$

$\text{Luas}= \pi r_1 r_2$

----- Terbukti -----

Demikianlah pembuktian rumus luas oval dan lingkaran. Ternyata, apabila jari-jari terpendek dan terpanjangnya sama, rumus luas oval akan menjadi rumus lingkaran.. ^^

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Contoh Soal 1:
Lebih luas yang mana?
(i) Lingkaran dengan diameter 10 cm, atau
(ii) oval dengan jari-jari terpendeknya 4 cm dan jari-jari terpanjangnya 6 cm.

Jawab:
(i) Luas lingkaran = $\pi r^2 = 25\pi \text{ cm}^2$
(ii) Luas oval = $\pi r_1 r_2 = 24\pi \text{ cm}^2$
Maka, lingkaran berjari-jari 5 cm lebih luas daripada oval dengan r1=4cm dan r2=6 cm.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Smoga pengetahuan ini berguna bagi pembaca.... ^^
Ada yang ingin ditanyakan.?
Click Here to Read More..

Jujur atau bohong?

Posted by hendry_dext

Alkisah di suatu kerajaan yang uaneh bin ajaib, tinggallah seorang raja yang aneh pula. Raja ini ingin memberi tantangan pada seseorang bernama Adhitya (maap bagi yang bernama Adhit, khususnya yang memakai nickname nirkabel).

Sang raja membawa Adhit untuk menemui 5 orang. Anggap saja orang itu adalah A,B,C,D, dan E. Raja memberitahukan bahwa dari kelima orang itu hanya ada 2 orang yang jujur. Tiga orang lainnya akan selalu berbohong (mengatakan berlawanan). Adhit harus bisa menebak mana yang jujur dan mana yang bohong. Syaratnya, dia hanya boleh menanyakan 3 pertanyaan ke 3 orang saja.

Maka, Adhit bertanya ke A.
Adhit : Kamu itu orang jujur atau bohong?
A___: @$#&!%#)()^@$%%&^#%$%^$!
Alangkah kagetnya, ternyata si A menjawab dalam bahasa Inggris. Maklum lah, Adhit kan orang Cilacap. Makanya, dia ndak bisa bahasa Inggris.

Si Adhit ini tidak pantang menyerah. Maka dia pun bertanya ke B:
Adhit: Apa maksud dari perkataan A tadi.?
B___: Dia bilang dia tidak berbohong.

Wew. Si Adhit tambah puyenk, maka dia pun bertanya ke C:
Adhit: Si B berbohong ya?
C___: Tidak

Maka, 3 pertanyaan pun sudah dilontarkan.
Saatnya, si Adhit menjawab pertanyaan raja. Jika Adhit tak berhasil menjawab, maka nyawa yang menjadi taruhannya.

Raja: Mana dari antara kelima orang itu yang termasuk orang bohong??
Maka, apa yang seharusnya dijawab Adhit?
Click Here to Read More..

Monday, September 22, 2008

Teliti Sebelum Menjawab

Posted by hendry_dext

Ada 5 soal matematika mudah banget. Silakan dijawab.. Tapi, ingat! Teliti sebelum menjawab!

===============================================================
1. Mana yang lebih berat, 50 kg kapuk atau 50 kg besi?

2. Berapa banyak tanah di dalam sebuah lubang di tanah yang panjangnya 25 m, lebarnya 6 m, dan dalamnya 2 m?

3. Sebuah kapal bersauh di luar pelabuhan. Untuk memudahkan pengunjung naik, sebuah tangga dari tambang digantungkan di sisinya. Jarak antara anak tangga satu dengan yang lannya adalah 0,4 m, dan pada jam 10.00 sebanyak 12 anak tangga berada di atas permukaan air. Pasang sedang naik dengan laju 1.2 m setiap jam, sehingga seorang petugas wanita pelabuhan menunda kunjungannya ke kapal sampai jam 13.00, dengan alasan pada saat itu akan lebih sedikit anak tangga yang harus dinaikinya. Tepat pada jam 13.00, berapa anak tangga yang harus dinaikinya bila pasang naik dengan laju yang sama?

4. Sebuah raket tenis dan sebuah bola harganya Rp32000,00. Harga raket Rp30000,00 lebih mahal daripada harga bola. Berapa harga bola?

5. Seorang petani yang merasa kesal karena kebunnya sering diganggu babi hutan, menjelang hari gelap pergi ke kebunnya sambil membawa sepucuk senapan. Ia melihat 13 ekor babi sedang merusak kebun ubinya. Dengan satu tembakan, matilah seekor babi. Berapa banyak babi yang tersisa di kebunnya?

===============================================================
Silakan dijawab di bagian comment. Nanti, akan kuberi tahu jawabannya.. ^^

Click Here to Read More..

Apa Yang Salah?

Posted by hendry_dext

Kali ini, di blog ini akan diisi dengan teka-teki/puzzle matematika yang lebih refreshing dengan label: "Math: Others". Isinya bukan materi baru. Hanya sekedar pengetahuan umum seputar matematika. Pokoke dijamin seru deh.

===============================================================
Apa Yang Salah??

Misalkan x=y adalah sembarang bilangan bukan nol. Penggandaan dengan x menghasilkan:

Mengurangkan y^2

dari keduanya menghasilkan

Dengan memfaktorkan kedua sisi diperoleh:

Bila sekarang kedua sisi itu dibagi dengan (x-y), maka akan diperoleh:

Dan, karena x bukan nol, maka kita dapat menyimpulkan

2 = 1

Di mana kekeliruan argumentasi di atas?

==============================================================
Silakan bagi para pembaca untuk menjawab teka-teki ini yach.??

Click Here to Read More..

Saturday, September 27, 2008

Luas Lingkaran dan Oval

Jujur atau bohong?

Monday, September 22, 2008

Teliti Sebelum Menjawab

Apa Yang Salah?

Categories

Blog Archieve