Kasus membuat Pop Mie... ~~a

Hari ini, si Budi pengen membuat Pop Mie.. Bagi yang tidak tahu Pop Mie, Pop itu itu adalah mie yang dibuat dengan cara menyeduhnya di gelas.. Yang ada tutupnya itu loh...

Namun, pop mie itu bukan sembarang pop mie karena merupakan edisi khusus!! Rasanya akan optimal jika diseduh dalam tutup dalam waktu tepat 3 menit, tidak lebih tidak kurang.. Kacaunya, semua jam di rumah Budi rusak.. Jadi, dia tidak bisa mengukur waktu dengan tepat.. Si Budi pun meminta bantuan tetangga, namun ternyata jam mereka semua juga rusak. Alhasil, kang Tetet pun datang ke rumah Budi, memberi bantuan..

Oleh Kang Tetet, disediakan 2 utas tali (panjangnya berbeda) dan korek api. Masing-masing tali, jika dibakar pada salah satu ujungnya, maka tali akan habis terbakar dalam waktu 12 menit. Namun, tali itu tidak homogen, jadi ada bagian di mana api akan berjalan dengan kecepatan cepat ataupun lambat.

Bagaimana cara Budi membuat Pop Mie dengan membuat alat-alat yang sudah disediakan di atas?

Note: jangan menyontek..!! Bagi beberapa orang yang sudah tahu jawabannya sebelum membaca post ini diharap jangan memberi comment yang mengarah ke jawaban.. ^^

Click Here to Read More..

Mami Lilis Gak Suka Korupsi..!!! ^^

Suatu hari, hiduplah mami Lilis, beserta anak-anaknya.. Mereka tinggal di suatu rumah (ya iyalah.. Masak di jembatan.. =P). Si mami Lilis ini berencana ingin memberikan hadiah aksesoris kepada 100 orang temannya. Makanya, dia pun menyuruh salah satu anaknya, Sisca, untuk membeli aksesoris di pasar. Diberikannya duit 100$ untuk dibelanjakan.

Di pasar, hanya ada 3 jenis aksesoris. Pertama, kalung yang harganya 6$. Kedua, gelang dengan harga 3$. Ketiga, anting dengan harga 0,1$. Si mami Lilis tidak peduli dengan jenis aksesoris apa yang dibeli. Alias terserah..!! Tapi, pastinya si mami ini ngak suka adanya korupsi!! Jadi, uang 100$ itu semuanya harus dihabiskan tidak kurang dan tidak lebih!!

Bisakah kalian membantu Sisca, berapakah jumlah kalung, gelang, dan anting yang harus dibelinya?? @_@

=========================================================================

Solusi:

Misalkan k=kalung, g=gelang, dan a=anting. Dibuatlah persamaan berikut.

6k+3g+0,1a = 100 ... (i)

k+g+a = 100 ... (ii)

Syarat untuk k, g, dan a yaitu harus bilangan bulat positif atau nol. Oleh karena itu, a pasti kelipatan 10 agar nilainya bulat. Jadi, sekarang kita eliminasikan nilai k dan g.

Nilai g di-eliminasi, hasilnya: 3k = 2,9a-200 ... (iii)
Nilai k di-eliminasi, hasilnya: 3g = 500 - 5,9a ... (iv)

Sekarang, karena berlaku k>0, maka 3k>0:
3k > 0
2,9a - 200 > 0
2,9a > 200
a >68,97 ... (v)

Berlaku pula g>0, maka 3g>0:
3g > 0
500 - 5,9a > 0
5,9a <500
a < 84,74 (vi)

Dari pers (v) dan (vi), artinya nilai a bisa 70 atau 80.. ^^
Kalo 70 dimasukkan di persamaan awal, maka hasilnya adalah k = 1 dan g = 29.
Kalo 80 dimasukkkan, hasilnya adalah k = 10,67 dan g = 9,33.

Maka, kita pilih yang nilai bulat, sesuai dengan kendala bahwa wol tidak ada yang pecahan.
Maka, jawabannya: anting: 70, kalung=1, dan gelang = 29.

Sumber: duh, sepertinya pernah lihat di mana yach.. Bisa di forum atau di Intisari... @_@

Click Here to Read More..

Mengenal Summations dan Products ^^

Sekarang kita akan mengenal dasar-dasar Summations dan Products. Jika sudah paham, tentunya kalian bisa menjawab soal-soal di bawah:

1. Apa bedanya lambang dengan lambang ?
2. Apakah ?
3. Berapakah jumlah dari
4. Berapakah jumlah dari ?
5. =
6. A = . Hitung nilai A.
7. Hitunglah
8. Hitunglah hasil dari
9. Hitunglah hasil dari
10. Hitung:
11. =
12. =
13. =
14. =
15. =
16. =
dan, masih banyak soal yang lainnya....

Sangat menarik, bukan?? ^^
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Preface
Definisi Notasi Summations (Sigma) dan Products

Summations dan Products adalah simbol yang biasa digunakan untuk mempermudah penulisan terhadap suku-suku yang dijumlahkan atau dikalikan.
Jika suku-sukunya ditambah, maka gunakan simbol "Summations" atau atau "sigma".
Jika suku-sukunya dikalikan, maka gunakan simbol "Products" atau .
Masih bingung? Lihat lagi penjelasan di bawah.

Sering kita jumpai penjumlahan dengan suku-suku yang sangat banyak seperti ini:

Dalam beberapa kejadian, mungkin penulisan tersebut maksudnya sudah jelas, namun sangat panjang untuk dituliskan. Untuk itulah digunakan simbol untuk membuatnya menjadi lebih efisien, menjadi seperti berikut:

Nah, penulisan dengan notasi sigma/ sum di atas lebih singkat bukan.?
Note: variabel k disebut "dummy variable" karena variabel k bisa diubah-ubah menjadi j atau simbol lainnya. Simbol ini hanya berfungsi untuk iterasi (pengulangan) saja.

Perhatikan di bawah untuk melihat contoh-contoh notasi sum/sigma dan penguraiannya.

Sudah jelas belom.?? Jadi, intinya notasi summation dipergunakan untuk mempersingkat penjumlahan suatu barisan yang panjang. ^^

Lalu, apa bedanya dengan products.?
Nah, kalau products (atau biasa disimbolkan dengan ) biasanya digunakan untuk suku-suku yang dikalikan. Tentunya, jika kalian tahu summations, tak akan sulit mengenal products.. Lihat contoh di bawah.

Nah, sekarang tentunya kalian sudah tahu dong bedanya sums dengan products? ^^

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Bagian 2
Sifat-sifat Dasar Summations

1.	Dengan mudah kita membuktikan sifat ini dengan penjabaran biasa: Bukti:
2.	Setiap konstanta (yang tidak mengandung nilai k) boleh dikeluarkan dari notasi sigma. Lihat di bawah. c adalah konstanta. = Bukti: = =
3.	Sifat di atas berlaku karena adanya sifat kelinearan. Bukti: = _____________= _____________=

Beberapa hal lain yang perlu diperhatikan:

Bagaimana cara mendapatkan hasil dari ?
Perhatikan bahwa merupakan deret aritmatika dengan suku awalnya 1 dan beda antar sukunya juga 1. Jadi, kita dapat dengan langsung mendapatkan hasil dari notasi tersebut, yaitu:

Namun, rumus ini juga dapat diperoleh dengan teknik analog (lihat bagian 3).. ^^

Bagaimana cara mendapatkan hasil dari ?
Seperti soal sebelumnya. Jika deret tersebut diuraikan maka menjadi:
= . Terlihat bahwa barisan tersebut adalah barisan geometri dengan suku awal a dan rasionya juga a, maka dengan mudah kita bisa menghitung hasilnya dengan rumus geometri. Jadi, hasilnya sebagai berikut.

=

Contoh soal:

1.	Hitung . Jawab: = + = + 5. = + =
2.	Hitung Jawab: Sekarang nilai variabel k dimulai dari 10. Jika kita ingin membuat nilai k menjadi 1, maka nilai batas atas dan bawah kita kurangi dengan 9, namun nilai k di dalam kurung akan berubah menjadi (k+9). Proses ini namanya shifting (menggeser). Jika kita uraikan satu per satu sukunya, maka tidak akan terjadi perubahan pada setiap sukunya. = = = = =

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Bagian 3

Teknik Analog

Teknik ini sangat berguna dalam mengerjakan soal seperti berikut:
atau

, , , , dan seterusnya.
Semua rumus di atas dapat dicari menggunakan teknik analog. Lalu, bagaimanakah cara kerja teknik analog itu? Kita akan melihat semua penurunannya di bawah.

dapat dicari dengan menguraikan . Berikut penurunan rumus .

=

= + +

= +

= 2. + n

= 2. + n

=

Jika ada yang kesulitan memahami langkah-langkah di atas, silakan contact saya.. ^^
Lanjut. Kita akan membuktikan rumus dengan menguraikan .

=

= + + +

= 3. + 3. + n

=3.+3.+n

= 3. + 3. + n

= 3.

= 6.

= 6.

=

Dengan langkah yang sama, terbuktilah rumus .
Sekarang kita akan membuktikan dengan menguraikan .

=

= + + + +

= 4. + 6. + 4. + = 4.+6.+4.+

4. + 6. + 4. + =

4. + 6. + 4. + n =

4. + + + n =

4. =

=

Untuk membuktikan rumus pangkat 4, 5 dan seterusnya, kita dapat menggunakan teknik analog ini.

Contoh Soal:

1.	Jika A = dan B = , mana yang lebih besar antara A dan B? Jawab: A = = = 338350. B = = = 44100. Jadi, lebih besar A daripada B.
2.	= Jawab: = __________________________= __________________________= + __________________________= + __________________________= 333300.
3.	A = . Hitung nilai A. Jawab: A = 2.( ) _ = 2. () _ = 2. _ = 2. _ = 4057270425.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Bagian 4

Sifat-Sifat Dasar Product

Seperti yang sudah dijelaskan di atas, notasi berfungsi untuk mengalikan suku-suku.

Berikut sifat-sifat Products:

1.	Bukti: = 1
2.	= dimana c adalah constanta. Bukti: = = =
3.	= Bukti: = = =
4.	= di mana c adalah konstanta. Bukti: = = =
5.	= (ini merupakan sifat linearity) Bukti: = = =

Bagian 3 di atas hanya berfungsi untuk memperjelas saja. Sifat itu juga bukan untuk dihapal, tapi untuk dipahami (toh saya pun tidak hapal) :P..
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Bagian 5

Berpikir Kreatif Dalam menyelesaikan Masalah Deret

Mungkin ini adalah bagian yang ditunggu-tunggu oleh pembaca, yaitu mengenai pemecahan masalah secara kreatif. Kebanyakan deret diselesaikan dengan cara membuat suatu deret menjadi bentuk yang lebih umum atau mengusahakan agar suku-sukunya bisa saling meniadakan. Langsung ke masalah...! ^^

Soal-Soal:

1.	Hitunglah Jawab: Tidak perlu berpikir lama untuk mengerjakan soal seperti ini. Kerjakan terlebih dahulu apa yang bisa kamu kerjakan. =
2.	= Jawab: Kelihatannya sih susah. Tapi, intinya sama dengan nomor 1. Kerjakan apa yang bisa kamu kerjakan! ^^. Jadi, soal di atas, bisa disederhanakan menjadi: = = _____ = =
3.	Hitunglah hasil dari Jawab: Untuk kasus deret pecahan yang membentuk deret geometri, kita bisa mengakalinya dengan mengalikannya atau membaginya dengan rasio. Pertama, anggap A = Rasionya adalah . Bagi A dengan . Maka, 2A = Lalu, kurangkan 2A dengan A, maka: 2A A = ____A = 1 + 1 + ____A = 2 + 2. ____A = 2 + 2. ____A = 2 + 2. ____A = 3. Hasil yang sama akan didapat jika mengalikan A dengan .
4.	Hitunglah hasil dari Jawab: Kita dapat menguraikan suku-sukunya. dapat diuraikan menjadi . Lalu, dapat diuraikan menjadi , dst. Maka, persamaan menjadi: = =
5.	Hitung: Jawab: Mungkin soal ini mulanya membuat bingung. sekali lagi, kerjakan apa yang bisa kamu kerjakan. Misalnya 1+2 = 3 atau 1+2+3 = 6.. Maka, persamaan menjadi: Keluarkan 2. = Persamaan di atas identik dengan persamaan pada soal nomor 4. Setelah diselesaikan dengan cara nomor 4, maka ditemukan hasilnya menjadi: = =
6.	= Jawab: Soal ini identik dengan soal nomor 3. Bedanya, dikerjakan secara bertingkat. Anggap: A = Maka, A = Kurangkan A dengan A: A A = Nah, bagian RHS (Right Hand Side atau ruas kanan) ternyata hasilnya sudah didapat sewaktu kita mengerjakan soal nomor 3. (Lihat nomor 3) A = 3 A = 6.
7.	= Jawab: Mungkin ini adalah soal yang dapat dibilang paling rumit dari semua soal yang ada di sini. Pertama, untuk mempersingkat persamaan tersebut, gunakan notasi sigma. n=2009. = __________________= __________________= __________________= __________________= __________________= __________________= __________________= __________________= + Perhatikan bahwa hasil dari sebenarnya sudah didapat di nomor 4 __________________= n + __________________= Karena nilai n = 2009, maka tinggal disubstitusi, maka jawabannya diperoleh. =
8.	= Jawab: Ini adalah soal yang tricky. Coba diubah dulu dalam notasi sigma. n=99. = ____________= ____________= ____________= ____________= ____________= _____________________ ) ____________= =
9.	= Jawab: Kalikan setiap suku dengan sekawannya.. = x = = = x = = = x = = Maka persamaan pada soal menjadi: + + + ... + Lihat suku-suku yang bisa dicoret. Jadi, = = 99.
10.	= Jawab: Ini juga merupakan soal yang tricky. Akan sulit jika kita belum mengenal polanya. Mengingat bahwa , maka setiap suku dalam soal bisa diubah. Maka, persamaan yang suku-sukunya sudah diubah adalah: Lihat suku-suku yang saling meniadakan.. Maka, jawaban dari soal di atas adalah: 2010! -1

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Akhirnya sudah 5 hari saya begadang membuat posting ini.. Banyak dari langkah-langkah di atas yang di-reduce karena saya malas membuat gambar latex.. (setiap gambar butuh perjuangan.. >_<).. Masih banyak soal-soal deret yang lainnya (yang tentunya lebih sulit..). Semoga materi di atas dapat membantu memberi gambaran mengenai summations dan products. Yang penting kita mau belajar. ^^.. Jika ada posting yang salah, mohon diberi tahu. Saya buatnya buru-buru.

Sumber: Elementary Number Theory (Kenneth H Rosen), Olimpiade Matematika SMA (Suwah Semibiring), Olimpiade Matematika ALJABAR DAN BILANGAN (Bambang Susianto).

Click Here to Read More..