Sunday, September 20, 2009

Kumpulan Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2002-2009

Berikut adalah kumpulan Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tingkat Provinsi tahun 2002-2009.
Judul File
Ziddu
Rapidshare
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2002
Download
Download
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2003DownloadDownload
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2004DownloadDownload
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2005DownloadDownload
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2006DownloadDownload
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2007DownloadDownload
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2008
Download
Download
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2009
Download
Download

Kumpulan Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2002-2009
Download
Download

Kumpulan soal di atas tentunya tidak terlepas dari jasa orang-orang baik pelatih olimpiade maupun peserta olimpiade. Mereka mau berbagi solusi dan men-sharenya ke publik.

Jangan lupa mengerjakan sesudah mendownload. Jangan hanya dilihat. :)
Lihat juga Kumpulan Soal dan Solusi Olimpiade Matematika pada tingkat Kota.
Click Here to Read More..

Kumpulan Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Kota 2002-2007

Olimpiade Matematika tingkat SMA dimulai dari seleksi tingkat kabupaten/ kota, kemudian provinsi, nasional, dan terakhir tingkat internasional. Kita dapat menyebut OSK untuk tingkat kota. OSP untuk provinsi. OSN untuk nasional dan IMO untuk Olimpiade internasional. Tentunya, olimpiade sains ada banyak bidang, termasuk matematika.

Tentunya, untuk bisa mencapai tingkat Nasional bahkan internasional, tidak ada jalan pintas selain belajar dengan latihan dan latihan.

Berikut adalah kumpulan Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tingkat Kota tahun 2002-2009.
Judul File
Ziddu
Rapidshare
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Kota 2002
Download
Download
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Kota 2003
DownloadDownload
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Kota 2004
DownloadDownload
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Kota 2005
DownloadDownload
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Kota 2006
DownloadDownload
Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Kota 2007
DownloadDownload

Kumpulan Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tk Kota 2002-2007
Download
Download

Kumpulan soal di atas tentunya tidak terlepas dari jasa orang-orang baik pelatih olimpiade maupun peserta olimpiade. Mereka mau berbagi solusi dan men-sharenya ke publik. Jadi, jangan terima kasih ke saya. :)

Jangan lupa mengerjakan sesudah mendownload. Jangan hanya dilihat. :)
Lihat juga Kumpulan Soal dan Solusi Olimpiade Matematika Tingkat Provinsi 2002-2009.
Click Here to Read More..

Friday, September 18, 2009

Teorema Euler

(Pelajari dahulu Fermat's Little Theorem dan Euler Phi Function.)

Fermat's Little Theorem (FLT) bekerja dengan baik jika bilangannya adalah prima. Namun, hal ini kurang memuaskan para matematikawan karena kurang praktis. Bagaimana dengan bilangan komposit?

Tahun 1736, Leonhard Euler berhasil membuktikan FLT. Kemudian, 24 tahun kemudian, FLT digeneralisasi oleh Euler. Selanjutnya generalisasi ini disebut dengan teorema Euler.

Teorema Euler
Untuk positif integer dan adalah integer dimana , maka:


Perhatikan bahwa apabila adalah bilangan prima (), maka FLT berlaku:


Di post ini, kita akan mempelajari bukti teorema ini, sekaligus mengenal kegunaan dari teorema Euler ini terutama dalam menyelesaikan soal kongruensi modulo dengan cepat. :)

=======================================================================


Konsep yang melandasi bukti teorema euler adalah sistem residu yang tereduksi. Perhatikan penjelasan pada kotak di bawah.

Sistem Residu yang tereduksi (reduced residue system) modulo adalah kumpulan bilangan integer yang totatif (koprima) dengan dan tidak ada 2 integer yang mempunyai kelas sisa yang sama.

Contoh 1:
1, 2, 4, 5, 7, 8 adalah sistem residu tereduksi modulo 9.
Perhatikan bahwa . Jadi, jumlah bilangannya harus 6. .
Perhatikan juga bahwa bilangan-bilangan itu harus koprima dengan 9, dan mempunyai kelas sisa yang berbeda satu sama lain.

Contoh 2:
-5, 7, 14, 19, 29, 35 adalah sistem residu tereduksi modulo 9.
Perhatikan bahwa semua bilangannya koprima dengan 9.
Tiap bilangan juga memiliki kelas sisa yang berbeda:
-5 4 (mod 9)____7 7 (mod 9)_____14 5 (mod 9)
19 1 (mod 9)____29 2 (mod 9)____35 8 (mod 9)

Contoh 3:
1, 5, 7, 11, 13 BUKAN sistem residu tereduksi modulo 12, karena jumlah bilangannya ada 5, padahal

Contoh 4:
-7, 11, 13, 17 BUKAN sistem residu tereduksi modulo 12, karena
-7 dan 17 memiliki kelas sisa yang sama.
-7 5 (mod 12). ____17 5 (mod 12)_

Contoh 5:
-7, 11, 13, 51 BUKAN sistem residu tereduksi modulo 12, karena 51 dan 12 bukan koprima.


Teorema
Jika adalah sistem residu yang tereduksi modulo ,
dan adalah integer positif dimana , maka:
juga merupakan sistem residu yang tereduksi modulo .

BUKTI:
(i) Bukti bahwa tiap elemen koprima dengan .
__Karena dan , maka .
(ii) Bukti bahwa tiap dua elemen memiliki kelas sisa yang berbeda.
__Asumsikan bahwa ada dua elemen, misalkan dan yang kongruen modulo .

__Karena , maka:

__Namun, kita tahu bahwa dan inkongruen (karena keduanya berasal dari sistem
__residu tereduksi). Oleh karenanya, kontradiksi dengan asumsi awal.
__Jadi, dan yang inkongruen modulo .

Dari poin (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa juga merupakan sistem residu yang tereduksi modulo . ■

Contoh 6:
1, 3, 5, 7 merupakan sistem residu tereduksi modulo 8.
Karena gcd( 3, 8 ) = 1, maka:
3, 9, 15, 21 juga merupakan sistem residu tereduksi modulo 8.

BUKTI TEOREMA EULER:
Didasarkan pada teorema sebelumnya pada kotak di atas.

Karena juga merupakan sistem residu tereduksi modulo , maka tentunya sisa residu positif dari adalah dalam urutan tertentu (acak).
Dengan mengalikan elemen-elemen tersebut, kita dapatkan:


Karena , maka

TERBUKTI. ■

ILUSTRASI BUKTI:
Dari contoh 6, kita tahu bahwa
1, 3, 5, 7 merupakan sistem residu tereduksi modulo 8.
3.1, 3.3 , 3.5 , 3.7 juga merupakan sistem residu tereduksi modulo 8.
Dengan demikian:
(3.1) (3.3) (3.5) (3.7) 3. 1. 7. 5 (mod 8)
(3.1) (3.3) (3.5) (3.7) 1 . 3 . 5 . 7 (mod 8)
34 (1. 3. 5. 7) 1 . 3 . 5 . 7 (mod 8)

=======================================================================


Contoh 1:
Tentukan digit terakhir dari .

Jawab:
Mencari digit terakhir sama seperti mencari sisanya juga dibagi 10.
Sesuai dengan teorema euler, maka:

Jadi, kita kelompokkan berdasarkan 4.

Digit terakhirnya adalah 1.

Contoh 2:
Berapakah sisa pembagian jika dibagi .

Jawab:
Sesuai teorema Euler,


Maka, kita kelompokkan berdasarkan 24.

Selanjutnya, gunakan cara biasa:

___________
Jadi, sisanya adalah 11.

Contoh 3:
Tentukan solusi kongruensi dari .

Jawab:
Teorema euler berguna untuk mencari invers modulo:

Berarti, adalah invers dari modulo .


Dengan demikian,




Contoh 4:
Jika koprima dengan 32760, buktikan bahwa:

Jawab:
Perhatikan bahwa
Teorema Euler menyatakan bahwa:
__, maka
__, maka
__, maka
__, maka


Karena 8, 9, 5, 7, dan 13 semuanya koprima, maka

Terbukti. ■

Contoh 5:
Jika dan koprima, buktikan bahwa:

Jawab:
Menurut teorema Euler:
(i) , maka
(ii) , maka
Sesuai dengan sifat keterbagian,







Terbukti. ■

=======================================================================


Di post ini, hanya diberikan perhitungan-perhitungan dasar yang melibatkan teorema euler. Dalam prakteknya pun, perhitungan yang melibatkan teorema euler juga merupakan perhitungan dasar seperti di atas. Teorema Euler berguna dalam banyak hal. Salah satunya untuk mempercepat proses enkripsi dan dekripsi dalam kriptografi, sehingga lebih efektif dan efisien . (belum dibahas sekarang).

Dengan teorema Euler, kita juga dapat membuktikan formula eksplisit dari Chinese Remainder Theorem, yang memungkinkan CRT diselesaikan dengan program komputer. Namun, hal itu masih belum dibahas sekarang.

Tunggu kelanjutan post-post berikutnya ya :)


Click Here to Read More..